1、第 1 页 共 20 页2019 届陕西省西安市长安区第五中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1抛物线 的焦点坐标是( )A (0,1) B (1,0) C (0,2) D (0, )【答案】D【解析】首先把抛物线改写为标准方程，再根据定义求焦点坐标。【详解】抛物线 可化为 ，所以抛物线的焦点为(0, )，答案选 D。【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题。2已知圆 ： ，定点 ， 是圆 上的一动点，线段1F236xy2,0FA1F的垂直平分线交半径 于 点，则 点的轨迹 的方程是（ ）A1APCA B C D 243xy295xy2134xy2159xy【答案】B【解析】
2、连结 ，则 =PA，2FP2 + =PA+ = =6 ，由椭圆的定义可得点 的轨迹为以点211A124FP、 为焦点，长轴为 6 的椭圆 12a=6，即 a=3，又 焦点为（2，0） ，即 c=2，b2=a2c2=94=5，故点 P 的轨迹 C 的方程为： 2195xy故选：B点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：第 2 页 共 20 页直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程几何法：利用圆的几何性质列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等3 的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点 中心对称（ sin(2)3yx
3、(,0)12）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位16C向右平移 个单位 D向右平移 个单位2【答案】C【解析】设 的图象关于点 对称，令sin()(|)32yx(,0)12可得 ，所以函数23xkZ6kZ的图象关于点 对称，因为 ，所si()y(,)(|2以 ，解得 。所以 ，621sin2sin()3613yxx则将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于点 对sin()3yx1,0称，故选 C4函数 的图象是（ ）21xe【答案】A【解析】试题分析：因为函数只有 个零点，所以排除 两项，由 ,1,CD21xye可知函数在 处取得极小值，所以不是定义域上的单调增函数，所以 B 不对，
4、12x只能选 A【考点】函数的图像的选择5已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 3 页 共 20 页A B 3 C D 6【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以 故应选 B【考点】空间几何体的三视图.6已知 是双曲线 上不同的三点，且 连线经过坐标原点，若直线 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率为A B C 2 D 3【答案】C【解析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合 kPAkPB=3，即可求得结论【详解】由题意，设 A（x1，y1），P（x2，y2） ，则 B（x1，y1）kPAkPB= 两式相减
5、可得 ,kPAkPB=3， 第 4 页 共 20 页 e=2故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中 与椭圆中 的关系不同求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出 的值,可得 ；（2）建立 的齐次关系式,将 用 表示,令两边同除以 或 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围7已知抛物线 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为A B C 1 D 2【答案】D【解析】根据设抛物线的焦点为 F，抛物线的定义可知，当 AF+BF=
6、AB 时，可使 AB 的中点到 x轴的距离最短，即 AB 恰好经过焦点，从而可求结果。【详解】设 ， ，抛物线的准线为 ，根据梯形的中位线定理知，AB 的中点到 x 轴的距离为=所以当 AB 恰好经过焦点时，d 最小，即 =2。答案选 D【点睛】本题主要考查抛物线的定义及焦点弦，属于基础题。8如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ 第 5 页 共 20 页）A 8 B 4C D 23【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知， 平面 , 平面 , PABCDABC,面积最小的为侧面 ，4,2PAB 12CDS故选：C.9在等腰直角
7、三角形 ABC 中，C=90， ，点 P 为三角形 ABC 所在平面上一动点，且满足 =1，则 的取值范围是A B C -2,2 D 【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点 P 的坐标，从而求出的取值范围【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示第 6 页 共 20 页则 A（0，2），B（2，0），C（0，0），由| |=1 知，点 P 在以 B 为圆心，半径为 1 的圆上，设 P（2+cos，sin），0，2）；则 =（cos，sin），又 + =（2，2）； （ + ）=2cos+2sin=2 sin（+ ），当 + = ，即 = 时， （ + ）取得
8、最大值 2 ，当 + = ，即 = 时， （ + ）取得最小值2 ， （ + ）的取值范围是 2 ，2 故选：D【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10已知 是椭圆 的左、右焦点，点 ，则 的角平分线 的斜率为（ ）A 1 B C 2 D 【答案】C【解析】求得直线 AF1 的方程，根据角平分线的性质，可得 P 到 AF1 的距离与 P 到 AF2 的距离相第 7 页 共 20 页等，即可求得直线 l 的方程【详解】由椭圆
9、+ =1，则 F1（2，0），F2（2，0），则直线 AF1 的方程为 y= （x+2），即 3x4y+6=0，直线 AF2 的方程为 x=2，由点 A 在椭圆 C 上的位置得直线 l的斜率为正数，设 P（x，y）为直线 l 上一点，则 =|x2|，解得 2xy1=0 或 x+2y8=0（斜率为负，舍） ，直线 l 的方程为 2xy1=0，故选：C【点睛】本题考查椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于中档题11如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面PAD底面 ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MPMC，则点 M
10、在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）第 8 页 共 20 页【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知 PD=DC，则点 D 符合“M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC”设 AB 的中点为 N，根据题目条件可知 PANCBNPN=CN，点 N 也符合“M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC”故动点 M 的轨迹肯定过点 D 和点 N而到点 P 与到点 N 的距离相等的点为线段 PC 的垂直平分面线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线是一直线【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系12已知球 O 与棱长为 4 的正方体 的所有棱都相切，点 M 是球
11、 O 上一点，点 N 是 的外接圆上的一点，则线段 的取值范围是A B C D 【答案】C【解析】线段 MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段 MN 长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得结论【详解】第 9 页 共 20 页设与正方体的各棱都相切的球的球心为 O，其半径为 r=2 ，正方体的外接球为 O1，则三角形 ACB1 的外接圆是正方体的外接球为 O的一个小圆，其半径 R= 点 M 在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点 N 在三角形 ACB1 的外接圆上运动，线段 MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正
12、方体的各棱都相切的球的半径，线段 MN 长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得 线段 MN 的取值范围是 .故选：C【点睛】本题考查空间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定线段 MN 长度的最值是正方体的外接球的半径加减正方体的各棱都相切的球的半径是关键属于中档题二、填空题13已知 cos（ ）= ，则 sin（ ）=_.【答案】 【解析】根据诱导公式和二倍角公式即可求出【详解】cos（+）= ，cos= ，sin（2+ ）=cos2=2cos21= 1= ，第 10 页 共 20 页故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题三角函
13、数求值与化简必会的三种方法：(1)弦切互化法:主要利用公式 tan = ;形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切 ；(2)“1”的灵活代换法:1= sin2+cos2=(sin+cos)2-2sincos=tan 等 ；(3)和积转换法: 利用(sincos )2=12sincos,(sin+cos)2+(sin-cos)2=2 的关系进行变形、转化.14若等差数列 满足 ，则当 _时， na789710,an的前 项和最大na【答案】8【解析】由条件知道，因为数列是等差数列，故公差小于 0 或者大于 0， 78980aa故得到 符号相反，故 ，故数列中
14、前 8 项大于 0，1,89a和 9a从第九项开始小于 0，故得到前 8 项的和最大。故答案为：8.15如图 1，在矩形 中， ， ， 是 的中点；如图 2，ABCD21BCED将 沿 折起，使折后平面 平面 ，则异面直线 和 所成DEEAAB角的余弦值为_【答案】 6【解析】取 的中点为 ，连接 ， ，延长 到 使 ，连接AEODBOECF， ， ，则 ，所以 为异面直线 和 所成角或它BFDFBAEADB的补角.第 11 页 共 20 页 1DAE ，且O2DO在 中，根据余弦定理得 .AB22coscs45AOBB 102O同理可得， 6F又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面DAEBCD
15、AEBCAEDOAE 平面O 平面B ，即222153D3BD同理可得， 7F又 2BAE在 中， D22376cos 2DBF两直线的夹角的取值范围为 0,2异面直线 和 所成角的余弦值为AEDB6故答案为 .6点睛：对于异面直线所成的角，一般是通过平移的方法形成异面直线所成的角（或其补角） ，再根据其所在三角形的边角关系，计算其大小，要注意异面直线所成的角是锐角或直角，若计算出是钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 第 12 页 共 20 页16已知函数 ，若函数 的所914sin2066fxxx3Fxf有零点依次记为 ，则123123,.nn_123xx【答案】445【解析】 ,解得：
16、,函数在 的对,62xkZ,62kxZ910,6称轴为 ， ， .相邻对称轴间的距离为 ，所以3432， ，以此类推， 126x243x，这 项构成以首项为 ， 为公差的等差数列，48n 1n第 项为 ，所以 ，解得 ，所以133231n1231803. 452nxxx【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法就是画出函数的图象，这样根据对称性就比较好解决了，本题有一个易错点是，会算错定义域内的零点个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.三、解答题17设 为各项不相等的等差数列 的前 n 项和，已知 .
17、(1)求数列 的通项公式；第 13 页 共 20 页(2)设 为数列 的前 n 项和，求 .【答案】 （1） ； （2） .【解析】（1）直接利用已知条件，根据等差数列的公式得到方程，求出数列的通项公式；（2）利用第一问的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】（1）等差数列a n的前 n 项和，已知 a3a5=3a7，S3=9设a n的公差为 d，则由题意知解得 （舍去）或 ，an=2+（n1）1=n1（2） ，【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1
18、时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.18在 中， .ABC25,cos4AC（1 ）求 的值；sin（2 ）设 的中点为 ，求中线 的长.D【答案】 （1） ；（2） .305第 14 页 共 20 页【解析】解：(1)因为 cosC ，且 C 是三角形的内角，25所以 sinC 21cos所以 sinBACsin(BC)sin(BC)sinBcosCcosBsinC 25 5310(2)在 ABC 中，由正弦定理，得 ，sinBCAsi所以 BC sinBAC 6 ，sinACB25310于是 CD BC312在ADC 中，AC2 ，cosC ，525所以由
19、余弦定理，得AD 2cosACDC 25093即中线 AD 的长为 19如图，抛物线 的焦点为 F，准线 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E2:4Eyxl上，以 C 为圆心， 为半径作圆，设圆 C 与准线 交于不同的两点 M，N.O（I）若点 C 的纵坐标为 2，求 ；MN（II）若 ，求圆 C 的半径.2AF第 15 页 共 20 页【答案】（I） （II）2|542MNCOd3【解析】（）抛物线 的准线 的方程为 ，4yxl1x由点 的纵坐标为 ，得点 的坐标为C2(1,2)所以点 到准线 的距离 ，又 ld|5CO所以 .2|542MNO（）设 ，则圆 的方程为 ，0(,)4y
20、C 422200()()16yyx即 .20x由 ，得12201yy设 ， ，则：(,)M2(,)N200124()40yy由 ，得|AFMN12|4y所以 ，解得 ，此时2014y060所以圆心 的坐标为 或C3(,)2(,)从而 ， ，即圆 的半径为2|4O| C32此题以圆为背景考查了解析几何中的常用方法（如设而不求）及圆锥曲线的性质.平时只要注意计算此题问题就不会太大.【考点定位】 本题考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想属于中等难度. 20已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为
21、椭圆 的左、右顶点，点 满足 （）求椭圆 的方程；（）设直线 经过点 且与 交于不同的两点 、 ，试问：在 轴上是否存在点 ，使得直线 与直线 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 的坐标及定值；若不存第 16 页 共 20 页在，请说明理由【答案】 （1） （2） ，定 值为 1.【解析】试题分析：（）由 可得 ，再根据离心率求得 ，由此可得 ，故可得椭圆的方程 （）由题意可得直线 的斜率存在， 设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线 与直线 的斜率，结合根与系数的关系可得，根据此式的特点可得当 时， 为定值试题解析：（）依题意得 、 ， ， ， 解得 ， ， ，故椭圆
22、的方程为 （）假设存在满足条件的点 . 当直线 与 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. 因此直线 的斜率 存在，设直线 的方程为 ，由 消去 整理得，设 、 ，第 17 页 共 20 页则 ， ， ， 要使对任意实数 ， 为定值，则只有 ，此时 故在 轴上存在点 ，使得直线 与直线 的斜率的和为定值 点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值 ，这是解答类似问题的常用方法 21已知函数 .(1)若直线 过点（ 1，0） ，并且与曲线
23、相切，求直线 的方程；(2)设函数 在1,e上有且只有一个零点，求 的取值范围.(其中 R，e 为自然对数的底数)【答案】 （1） ； （2） 或 .【解析】（1）对函数求导并求导数值，即切线方程的斜率，运用点斜式写出方程即可；（2）将条件转化为函数 在 是没有零点，分类讨论即可得到结论。【详解】（1）设切点坐标为（x 0，y 0） ，则 y0=x0lnx0,切线的斜率为 lnx0+1，所以切线 l 的方程为 y-x0lnx0=（lnx 0+1） （x-x 0） ，又切线 l 过点（1，0） ，所以有-x 0lnx0=（lnx 0+1）(1-x 0)，即 lnx0=x0-1，设 h（x）=ln
24、x-x+1，则 ，x（0,1） ， ，h（x）单调递增，x（1,） ， ，h（x）单调递减，h（x） max=h(1)=0 有唯一解，所以 x0=1，y 0=0.所以直线 l 的方程为 y=x-1. 第 18 页 共 20 页（2）因为 g（x）=xlnx-a（x-1） ，注意到 g（1）=0，所以所求问题等价于函数 g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e上没有零点.因为 .所以由 lnx+1-aea-1,所以 g（x）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1， ）上单调递增. 当 ea-11，即 a1 时，g（x）在（1,e上单调递增，所以 g（x）g(1)=0.此时函数 g（x）
25、在（1,e上没有零点， 当 1ea-1e,即 1a2 时，g（x）在1,e a-1)上单调递减，在（e a-1,e上单调递增，又因为 g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e上的最小值为 g（e a-1）=a-e a-1，所以（i）当 1a 时，g（x）在1,e上的最大值 g（e）0，即此时函数 g（x）在(1,e上有零点.（ii）当 a2 时，g（e）0，即此时函数 g（x）在（1,e上没有零点，当 ee a-1即 a2 时，g（x）在1,e上单调递减，所以 g（x）在1,e上满足g（x）g(1)=0 ， 此时函数 g（x）在(1,e上没有零点. 综上，所求的 a 的取值范围
26、是 或 .【点睛】已知函数的零点，求参数的取值范围常用的方法和思路：（1）数形结合法：先对函数解析式进行适当的整理或运用导数研究函数的相关性质，在坐标系内画出函数的图像，然后数形结合，直观确定参数的取值范围。（2）直接法：根据条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式或进行分类讨论，确定参数的取值范围。22已知椭圆 的离心率为 是它的一个顶点，21:(0)xyCab2,0P过点 作圆 的切线 为切点，且 .P22:r,PTT（1 ）求椭圆 及圆 的方程；12（2 ）过点 作互相垂直的两条直线 ，其中 与椭圆的另一交点为 ， 与圆交12,l1lD2l于 两点，求 面积的最大值.,ABDA第 19
27、页 共 20 页【答案】 （1） ，椭圆方程为 ;（2） 的面积最大值2Cxy214xyABD为 .23【解析】试题分析：（1）依据基本量求出椭圆方程和圆的方程；（2）设出直线 方1l程为 ，利用韦达定理求出 的坐标以及弦长 （用 去表示） ，从而得2ykxPABk到面积关于 的函数关系，求出其最大值即可.解析：（1）由 ，得 ，故所求椭圆方程为2,cae2,cb24xy由已知有 , 圆 的方程为： .2rPOT2C2:xy（2 ）设直线 方程为 ，由 得 1lykx214yk， ,又 22840kx28PDkx.2 22441,11P DPkPkxk直线 的方程为 ，即 2ly，220,211kxkABk22214ABCSPDk，当且仅当 22244333kk时取等号.因此 的面积最大值为 .2210,kABC23点睛：椭圆中如果动直线过椭圆上一个定点，那么我们可以用其斜率表示另一个交点的坐标，进而讨论与直线相关的问题.对于解析几何的最值问题，往往需要利用函数或第 20 页 共 20 页基本不等式求其最值.
