1、第 1 页 共 22 页2019 届内蒙古赤峰二中高三上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1 是虚数单位，复数 对应的点位于（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】B【解析】【分析】先化简 ,再确定复数对应的点所在的象限.【详解】由题得 = 所以复数对应的点为（-1,1） ，所以其对应的点在第二象限.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复数 对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数 对应的点所在的象限.复数 和点（a,b）是一一对应的关系.2若集合 ，集合 ，则 “
2、 ”是“ ”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出 时 a=3，再利用充要条件判断得解.【详解】因为 ，所以 .因为“ ”是“a=3” 的充分非必要条件，所以“第 2 页 共 22 页”是“ ”的充分不必要条件.故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查集合的运算和充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题 和集合 的对应关系. ， ；最后利用下面的结论判断：若 ,则 是 的充分条件，若 ，则 是 的充分非必要条件；若
3、,则 是 的必要条件，若 ，则 是 的必要非充分条件；若 且，即 时，则 是 的充要条件.3已知函数 ，则 （ ）A 在 上递增 B 在 上递减C 在 上递增 D 在 上递减【答案】D【解析】【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性.【详解】函数的定义域为（0，+）求导函数，可得 f（x）=1+lnx令 f（x）=1+lnx=0，可得 x= ,0 x 时，f（x）0，x 时，f（x）0在 上递减, 在 上递增故选：D【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函
4、数为负的区间是减区间.第 3 页 共 22 页4已知各项不为 O 的等差数列 满足： ，数列 是各项均为正值的等比数列，且 ，则 等于（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】先利用等差数列的性质以及已知条件求出 a7= ，再利用等比数列的性质即可求出 b7= ，再根据 tan =tan ，运算求得结果【详解】因为 ，且 a2+a12=2a7，an0，得 a7= ，所以，b 7= 故 = =b7= tan =tan = ，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查等差数列等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 等差数列 中，如果 m+n=p+q,则 ,特殊
5、地，2m=p+q 时，则 ， 是 的等差中项.等比数列 中，如果 m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q 时，则 ， 是 的等比中项.5若实数 , 满足 ，则 的最小值为 （ ）A 0 B 1 C D 9【答案】B【解析】第 4 页 共 22 页在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示 )及直线x2y 0，平移直线 x2y 0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时 x2y 取得最小值，3 x2y 取得最小值，则 z3 x2y 的最小值是 3020 1，选 B.6如果函数 的图像关于直线 对称，那么 的最小值为（ ）A B C
6、D 【答案】A【解析】【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，可得 f（0）=f（ ） ，由此求得|的最小值【详解】函数 f（x）=sin（2x+）的图象关于直线 对称，则 f（0）=f（ ） ，即 sin=sin（ +），即 sin=sin（ +）= cos+（ ）sin，tan= ，| |的最小值为 .故答案为：A【点睛】第 5 页 共 22 页本题主要考查三角函数图像的对称性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.7 “珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著 算法统综的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题,其
7、中有一首 “竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢三节贮两升五 ,唯有中间三节竹 ,要将米数次第盛, 若有先生能算法,也教算得到天明.”（注释四升五：4.5 升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间三节的容积为（ ）A 3 升 B 3.25 升 C 3.5 升 D 3.75 升【答案】C【解析】【分析】由题得 再利用等差数列的性质求中间三节的容积.【详解】由题得 ,所以 .故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等差数列 中，如果 m+n=p+q,则 ,特殊地，2m=p+
8、q 时，则 ，是 的等差中项.8已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时 ，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】第 6 页 共 22 页【分析】由题意可得函数的周期为 4，结合奇偶性和题意将 f（ ）， f（7）， 化到 上，再将自变量代入解析式可得答案【详解】f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（6）=f（2）=f（0）=0，f（ ）=f（ ）=f（ ）=f（ ）= 1，f（7）=f（1）=1， .故选：C【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象
9、函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。9用 表示 ，b 两个数中的最大数，设 ，那么山函 数的图象与 X 轴、直线 和直线 所围成的封闭图形的面积是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】先给出 ，再由题意用定积分分成两类求封闭图形的面积即可，由于两段函数的解析式不一样，故分成两段积分【详解】第 7 页 共 22 页由题设知： ， ，故答案为：A【点睛】本题考查定积分的运用，运用定积分求面积，求解本题的关键是确定出积分区间以及被积函数10如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于
10、点 、 ，交其准线 于点 ，若点 是 的中点，且 ，则线段 的长为（ ）A 5 B 6 C D 【答案】C【解析】【分析】设 A、B 在准线上的射影分别为为 M、N，准线与横轴交于点 H，则 FH=p，由点 F 是AC 的中点，得 p=2，设 BF=BF=x，则 ，即 ，解得 x= ，即可求解【详解】设 A、B 在准线上的射影分别为为 M、N，准线与横轴交于点 H，则 FH=p，由于点 F 是 AC 的中点，|AF|=4 ，AM=4=2p，p=2，第 8 页 共 22 页设 BF=BN=x，则则 ，即 ，解得 x= ，故答案为：C【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的
11、弦的弦长关系，平面几何知识，转化化归的思想方法.11直线 与曲线 有且仅有一个公共点，则 的取值范围是A B 或 C D 【答案】B【解析】【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，1）和另一个点，及与曲线交于点（0， 1） ，分别求出 b，则 b 的范围可得【详解】曲线 有即 x2+y2=1 （x0） ，表示一个半圆（单位圆位于 x 轴及 x 轴右侧的部分）如图，A（0，1）、B（1，0）、C （0，1），当直线 y=x+b 经过点 A 时，1=0+b，求得 b=
12、1；当直线 y=x+b 经过点 B、点 C 时，0=1+b，求得 b=1；第 9 页 共 22 页当直线 y=x+b 和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得 1= ，求得b= ，或 b= （舍去） ，故要求的实数 b 的范围为1b1 或 b= ，故答案为：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.12对任意的实数 ，都存在两个不同的实数 ，使得 成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】先化简已知得 再利用导数求出函数的单调性，再利用数形结合分析得到 a 的范围.【详解】由题得设所以当 时，函数单调递增
13、，当 时，函数单调递减.第 10 页 共 22 页所以 ，由函数的图像得 y=a 与 y=f(t)有两个不同的交点，所以 .故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是化简方程得到其二是分析出函数的单调性画出函数的图像数形结合分析.二、填空题13若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为_【答案】【解析】【分析】由函数 y=f（x）的定义域为 ，2，知 log2x2，由此能求出函数 y=f（log2x）的定义域即可【详解】函数 y=f（x）的定义域为 ，2，第 11 页
14、 共 22 页 log2x2， x4故答案为：【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是_ 【答案】【解析】【分析】根据大角对大边以及余弦定理，求出B 的值，再根据三角形内角和定理求出结果【详解】边长为 a=5、b=7、c=8 的三角形 ABC 中，cosB= ，B（0，），B= ，ABC 的最大角 C 与最小角 A 的和为 B= 故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形的内角和定理，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15设集合 , ,从集合 中任取一个元素,则这
15、个元素也是集合 中元素的概率是_第 12 页 共 22 页【答案】【解析】【分析】先根据集合 A，B，求出 AB，再利用长度型的几何概型的意义求解即可【详解】集合 A=x| 2 x16=（ 2，4），B=x|y=ln（x23x）= ，AB=x|3x4 或-2x0，事件“xAB”的概率是 .故答案为：【点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查几何概型，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题） ；接着，如果是一维的
16、问题，先确定试验的全部结果和事件 构成的区域长度（角度、弧长等） ，最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.16已知四面体 的棱 , , ,则此四面体外接球的表面积_【答案】【解析】【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为 3，4，5，则长方体的对角线长等于四面体外接球的直径【详解】第 13 页 共 22 页四面体 ABCD 的对边长分别相等，AB=CD=3 ，AC=BD=5，AD=BC=4，构造长方体，使得面上的对角线长分别为 3，4，5，则长方体的对角线长等于四面体外接球
17、的直径设长方体的棱长分别为 x，y，z，则 x2+y2=32，y2+z2=52，x2+z2=42，所以四面体外接球的直径为 故答案为：【点睛】（1）本题主要考查球的表面积的计算，考查长方体的外接球，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求几何体外接球的半径常用的方法有模型法和解三角形法,本题利用的就是模型法.三、解答题17为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民 25 人，女性市民 75 人进行调查，得到以下的 列联表： 支持 不支持 合计男性 20 5 25女性 40 35 75合计 60 40 100(1)根据以上数据，能否有 97.5%的把握认为市民“支持政策 ”与
18、“性别” 有关？(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取 4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的 4 位市民中持“支持” 态度的人数为 ,求 的分布列及数学期望。附： .0.15 0.100 0.050 0.025 0.010第 14 页 共 22 页2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （1）有 97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. （2）见解析.【解析】【分析】(1)利用独立性检验求出 k 的值，即得有 97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. （2）利用二项分布求 的分布列及数学期望.【详解】（1）由
19、列联表可得而所以有 97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. （2） 由 列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为 ，将频率视为概率，即从 A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为 . 由于总体容量很大，故 可视作服从二项分布，即 X B(4, )，所以从而 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P第 15 页 共 22 页所以 的数学期望为 .【点睛】(1)本题主要考查独立性检验，考查二项分布的分布列和数学期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是一个随机变
20、量如果在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次独立重复试验中这个事件恰好发生 次的概率是， （ ） 正好是二项式 的展开式的第项.所以记作 ，读作 服从二项分布，其中 为参数. 若 则.18如图，四棱锥 的底面 为矩形，且 ， ， ，（）平面 与平面 是否垂直？并说明理由； （）求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】 （I）见解析（）【解析】本试题主要是考查了立体几何中的面面垂直的证明，以及线面角的求解的综合运用（1 ）根据面面垂直的判定定理，得到结论。关键是证明 DA 垂直于平面 PAB。（2 ）在平面 PAB 内，过点 P 作 PEAB，垂足为 E，则 PE平面 ABCD，连结 EC，
21、则PCE 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角，作出角，证明求解。19已知 分别是 内角 的对边，且满足 .(1)求角 的大小；(2)设 ， 为 的面积，求 的最大值.第 16 页 共 22 页【答案】(1) ,(2)最大值 .【解析】【分析】(1)先利用正弦定理和余弦定理化简 得 .（2）先由正弦定理得 ，再代入 化简得 =，再求函数的最大值.【详解】根据正弦定理，知 ，即由余弦定理，得 .又 ，所以 .（2）根据 ， 及正弦定理可得 ， .故当 ，即 时， 取得最大值 .【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值的求法，意
22、在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第 2 问的关键是利用正弦定理和三角恒等变换求出 =.20设函数 有两个极值点 ，且（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；第 17 页 共 22 页（II）证明：【答案】 （）函数的单调递增区间为 和 ，单调递减区间 ，其中， 且 .（）证明见解析【解析】【分析】（I）先对函数求导，设 ，再分析得 ，解不等式即得 a 的范围,再讨论 的单调性.(2) 由题意和知 x 20，a= 2x2（1+x2），于是 f（x2）= 2x2（1+x2）ln（1+x2），设函数 g（t）=t22t（1+t）ln（1+t），再利用导数求 g（t）最小值即得
23、 .【详解】（）因为 ，设 ，依题意知 得 ，所以 的取值范围是由 得 ，由 得 ，所以函数的单调递增区间为 和 ，单调递减区间 ，其中 且 .（）由题意和知， x 20， a=2x2（1+x2），于是 f（x2）= 2x2（1+x2）ln（1+x2），第 18 页 共 22 页设函数 g（t）=t22t（1+t）ln（1+t） ，则 g（t）=2（1+2t）ln（1+t），当 t= 时， g（t）=0，当 t（ ，0）时，g（t）0，故 g（t）在 ，0）上是增函数于是，当 t（ ，0），g（t）g（ ）= ，因此 f（x2）=g（x2） 【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的极值和单
24、调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第 2 问解答关键有两点，其一是 x 20，a= 2x2（1+x2），其二是构造函数 g（t）=t22t（1+t）ln（1+t）.21已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆过点（ 1， ）（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）设 是圆 上任一点，由 引椭圆两条切线 , .当切线斜率在时，求证两条斜率的积为定值。【答案】(1) ;(2)定值为-1，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知列方程组解之即得椭圆的标准方程.(2) 设 则过点 P 的切线方程为联立直线和椭圆方程得到 ，再根据=0 得到 ,再求 即得证.【详解】第
25、19 页 共 22 页由题得 .所以椭圆的方程为 .设 则过点 P 的切线方程为联立 ，因为直线和椭圆相切，化简得 ，所以 ，因为所以所以两条斜率的积为定值-1.【点睛】(1)本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出 ，其二是求出.22 （选修 44：坐标系与参数方程）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t 为参数） ，若以原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 ，设 是圆 上任一点，连结 并延长到 ，使 .（1 ）求点 轨迹的直角坐标方程；（2
26、 ）若直线 与点 轨迹相交于 两点，点 的直角坐标为 ，求 的值.第 20 页 共 22 页【答案】 （1） ,（2）【解析】【分析】（1）设 点坐标 ， ，所以 ，再化成直角坐标即得求点 轨迹的直角坐标方程.(2) 把 ，代入 得 ，再利用直线参数方程 t 的几何意义求解即可.【详解】（1）设 点坐标 ， ，即化为平面直角坐标系下的方程为（2）把 ，代入 得所以 ，【点睛】（1）本题主要考查点的轨迹方程，考查直线的参数方程和 t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 过定点 、倾斜角为 的直线的参数方程 （ 为参数）.当动点 在定点 上方时, . 当动点 在定点
27、 下方时, . 由直线参数方程中参数的几何意义得：如果第 21 页 共 22 页求直线上 两点间的距离 ,不管 两点在哪里，总有 .23 （选修 45：不等式选讲）已知关于 的不等式 的解集为 （1 ）求实数 的取值范围；（2 ）已知 且 ，当 最大时，求 的最小值及此时实数 的值【答案】 （1） ,（2） 【解析】【分析】(1)先利用绝对值三角不等式得到 ，再解不等式即得 m 的取值范围.(2) 由柯西不等式得 ，即得 的最小值及此时实数 的值【详解】（1）因为 ，当 或 时取等号，令 ，所以 m-32m 或 m-3-2m,所以 m-3 或 m1，所以 m1.所以实数 的取值范围为 .（2）由（1）知 ，由柯西不等式，可得，所以 ，当且仅当 且 时等号成立，易得 时， 取得最小值为 【点睛】（1）本题主要考查绝对值三角不等式和柯西不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般形式的柯西不等式：设 n 为大于 1 的自然数，为任意实数，则：第 22 页 共 22 页，,其中等号当且仅当时成立.
