1、河南名校 2018 届高三第二次考试数学（文科） 第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求解出集合 ，得到 ，即可得到答案详解：由题意集合 ， ，则 ，所以 ，故选 C点睛：本题考查了集合的混合运算，其中正确求解集合 是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力2. 复数 ，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A. B.的共轭复数为C.的实部与虚部之和为 1 D.在复平面内的对应点位于第一象限【答案】D【解析】分析：利用复数
2、的四则运算，求得 ，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论详解：由题意 ，则 ，的共轭复数为 ，复数的实部与虚部之和为 ，在复平面内对应点位于第一象限，故选 D点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为 3. 设 ， ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，且 ，所以 ， .故选 D.4. 随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增
3、大，下图是某城市 2016 年 1 月至 8 月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）1 月至 8 月空气合格天数超过 20 天的月份有 5 个第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了8 月是空气质量最好的一个月6 月份的空气质量最差A. B. C. D. 【答案】A【解析】 在 A 中，1 月至 8 月空气合格天数超过 20 谈的月份有：1 月，2 月，6 月，7 月，8 月，共 5 个，故 A 正确；在 B 中，第一季度合格天数的比重为 ；第二季度合格天气的比重为 ，所以第二季度与第一季度相比
4、，空气达标天数的比重下降了，所以 B 是正确的；在 C 中，8 月空气质量合格天气达到 30 天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的；在 D 中，5 月空气质量合格天气只有 13 天，5 月份的空气质量最差，所以是错误的，综上，故选 A.5. 若等差数列 的公差为 2，且 是 与 的等比中项，则该数列的前 项和 取最小值时， 的值等于（ ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】B【解析】以 为变量， 得， ，则 ，所以 最小，故 ,故选 B.6. 已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则函数 的解析式不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据函数 为偶函数，
5、得 ，得到 在 上单调递增，即可作出判断，得到结论详解：因为 为偶函数，则 ，解得 ，所以 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，只有 在 上单调递减，故选 B点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，解答中涉及到利用函数奇偶性，求得值，进而得到函数的单调性，利用基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力7. 我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法” ，当输入 ，时，输出的 （ ）A. 54 B. 9 C. 12 D. 18【答案】D【解析】模拟程序框图的
6、运行过程，如下；a=6102，b=2016，执行循环体，r=54 ，a=2016，b=54，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54， b=18，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0 ，满足退出循环的条件 r=0，退出循环，输出 a 的值为 18.本题选择 D 选项.8. 设 的三个内角 所对的边分别为 ，如果 ，且 ，那么外接圆的半径为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 1【答案】D【解析】分析：先利用余弦定理，求的 ，再利用正弦定理，即可求得外接圆的半径详解：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，因为 ，由正弦定理可得 的外接圆半径为 ，故选 D点睛：在
7、解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到9. 一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示三视图的还原图：左侧为三棱锥，右侧为半个圆锥.有： 面 PBC, 所以 PB=PC=2, ,取 PC 中点 D，则 ，所以 .得表面积为 .故选 A.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图
8、、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图10. 已知函数 ，那么下列说法正确的是（ ）A. 函数 在 是增函数，且最小正周期是B. 函数 在 是增函数，且最小正周期是C. 函数 在 是减函数，且最小正周期是D. 函数 在 是减函数，且最小正周期
9、是【答案】B【解析】分析：由题意，化简 ，求得函数的定义域，进而求得函数的最小正周期和函数的单调区间，得到结果详解：因为 ，函数 的定义域为 ，解得 ，即 ，故函数的最小正周期是 ，函数 是增函数，故选 B点睛：此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围，难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等11. 已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 两点，若 ，点 到直线的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
10、A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据椭圆的定义，求得 ，又由点 到直线的距离不小于 ，解得 ，根据离心率的公式，即可求解椭圆理性了的范围详解：如图所示，设 为椭圆的左焦点，连接 ，则四边形 是平行四边形，所以 ，所以 ，取 ，因为点 到直线的距离不小于 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以椭圆 的离心率的取值范围是 ，故选 A点睛：本题考查了椭圆的几何性质离心率的取值范围问题，求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式) ，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)
11、12. 已知函数 ，则实数 的值是（ ）A. 4036 B. 2018 C. 1009 D. 1007【答案】C【解析】分析：分别令 ， ，求得函数的对称中心，从而计算，进而求得结果详解：由题意，函数 ，令 ，则 的对称中心为 ，所以 ，则 ，令 ，则 的对称中心为 ，所以 为函数 的对称中心，则 ，所以 ，所以 ，故选 C第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若实数 满足 ，则 的最大值是_【答案】2【解析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，把目标函数化为斜截式方程，平移到可行域的边界上，求得最值详解：由约束条件 可知表示的可行域是由 所
12、围成的三角形区域，如图所示，目标函数 ，即 ，当此直线经过点 时，目标函数 取得最大值，最大值为 14. 过点 与曲线 相切的直线方程是_【答案】 或【解析】分析：设出切点的坐标 ，求得切线的方程，代入点 ，求得 的值，即可得到切线的方程详解：由题意得 ，设曲线上点的坐标为 ，切线斜率为 ，所以切线的方程为 ，切线过点 ，则 ，解得 或 ，将其代入 ，可得切线方程为 或 点睛：本题考查了导数的几何意义，曲线过点的切线方程的求解，解答中根据导数的几何意义，利用切线过点 ，求得切点的横坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力15. 从圆 内任意取一点 ，则 到直线 的距离小于 的概率为_【答案】
13、【解析】圆心为 ，半径为 ，圆心到到直线 的距离 ，圆心到直线 的距离 ，故圆内到 距离小于 的就在直线 和直线 之间.画出图像如下图所示.阴影部分面积等于半圆减去一个弓形的面积，而弓形的面积等于四分之一圆减去一个等腰直角三角形的面积，即弓形面积为 ，阴影部分面积为 ，所以概率为 .【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查几何概型，考查数形结合的数学思想方法.首先画出图像，发现图像有一定的对称性，特别在计算圆心到已知直线的距离，发现距离恰好等于 后，容易想到和它平行的直线 为边界位置.16. 在正四面体 中，其侧面积与底面积之差为 ，则该正四面体外接球的表面积为_【
14、答案】【解析】分析：设正四面体 的棱长为，根据侧面积与底面积之差为 ，求得 ，进而得到正四面体的外接球的直径为 ，即可求解外接球的表面积详解：设正四面体 的棱长为，因为侧面积与底面积之差为 ，所以 ，故 ，正四面体的外接球的直径为 ，所以表面积为 点睛：点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答中要注意正四面体的棱长与外接球的直径之间的关系，同时解答时要认真审题，着重考查了学生的空间想象能力以及推理与运算能力，属于中档试题三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量 ， ， ，将 的图像向右平移 个单位后，再保持纵坐标不变，横坐标变
15、为原来的 2 倍，得到函数 的图像.（1）求函数 的解析式；（2）若 ，且 ， ，求 的面积.【答案】(1) ;(2) .【解析】分析：（1）由题意，化简得 ，利用图象的变换得 ；（2）由 ，求得 ，在由正弦定理求得 ，及 的值，即可利用三角形的面积公式求得三角形的面积详解：（1），的图像向右平移 个单位后，函数解析式变为 ，则（2） ， ， ， ；由正弦定理得 ，即 解得 ， ，所以 .点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二
16、倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18. 一只药用昆虫的产卵数 与一定范围内的温度 有关，现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如下表：温度 21 23 24 27 29 32产卵数 /个 6 11 20 27 57 77经计算得： ， ， ， ， ，线性回归模型的残差平方和 ， ，其中 ， 分别为观测数据中的温度和产卵数，.（1）若用线性回归模型，求 关于 的回归方程 （精确到 0.1）；（2）若用非线性回归模型求得 关于 的回归方程为 ，且相关指数 .试与（1）中的回归模型相比，用 说明哪种模
17、型的拟合效果更好.用拟合效果好的模型预测温度为 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据 , , ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计为 ，；相关指数【答案】(1) ;(2)见解析;190.【解析】试题分析：（1）求出 的值，计算相关系数，求出回归方程即可；（2） （i）根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣；（ii）代入求值计算即可试题解析：（1）由题意得， ， ， 关于 的线性回归方程为 .（2） （i）由所给数据求得的线性回归方程为 ，相关指数为.因为 ，所以回归方程 比线性回归方程 拟合效果更好.（ii）由（i）得当温度 时， .又 ， （个）.即当温度 时，该种
18、药用昆虫的产卵数估计为 个.19. 如图，在梯形 中， , ， ，四边形 是矩形，且平面平面 ，点 在线段 上.（1）求证： 平面 ；（2）当 为何值时， 平面 ？证明你的结论.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析：（1）在梯形 中，利用梯形的性质得 ，再根据平面 平面 ，利用面面垂直的性质定，即可证得 平面 ；（2）在梯形 中，设 ，连接 ，利用比例式得 ，进而得 ，利用线面平行的判定定理，即可得到 平面 .详解：（1）在梯形 中， ， ， ，四边形 是等腰梯形，且 ， ， ， .又平面 平面 ，又平面 平面 ， 平面 .（2）当 时， 平面 ，在梯形 中，设 ，连接 ，则 ，而 ，
19、 ， ，四边形 是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面.点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直； (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直20. 已知过抛物线 的焦点 ，斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，且.（1）求该抛物线 的方程；（2）过点 任意作互相垂直的两条直线 ， ，分别交曲线 于点 ， 和 ， ，设线段 ， 的中点分别为 、.求证：直线 恒过一个定点.【答案】(1) ;
20、(2)见解析.【解析】试题分析： 联立直线方程和抛物线方程，利用弦长公式列方程解出 ，即可得到抛物线 的方程；设直线 的方程，联立抛物线方程得两根之和，计算点 的坐标，同理可得点 的坐标，运用直线点斜式给出直线方程，讨论斜率问题即可得出定点解析：（1）抛物线的焦点 ，直线 的方程为：联立方程组 ，消元得： ， ，解得 . ，抛物线 的方程为： .（2）设 两点坐标分别为 ，则点 的坐标为 由题意可设直线 的方程为 .由 ，得 .因为直线 与曲线 于 两点，所以 .所以点 的坐标为 .由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 .当 时，有 ，此时直线 的斜率 .所以，直线 的方程为 ，整理
21、得 .于是，直线 恒过定点 ；当 时，直线 的方程为 ，也过点 .综上所述，直线 恒过定点 .21. 已知 ， .（1）求函数 的极值；（2）求证：当 时， .【答案】(1) ， 无极大值.(2)见解析.【解析】分析：（1）由题意得 ，求得 ，得出函数的单调区间，即可求解函数的值；（2）由题意问题等价于 ，由（1）知 的最小值为 ，令 ，利用导数求得函数 的单调性，得到 最值，即可作出证明详解：（1） ， ，由 得 ，由 ，得 . 在 上单调递减，在 上单调递增， ， 无极大值.（2）问题等价于 ，由（1）知 的最小值为 ，令 ，易知 在 上单调递增， 上单调递减， ，又. ， ，故当 时，
22、成立.点睛：本题考查了利用导数求解函数的极值、以及利用导数证明不等关系式，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，问题转化为函数的最值问题加以求解请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆 是以极坐标系中的点 为圆心， 为半径的圆，直线的参数方程为 .（1）求 与的直角坐标系方程；（2）若直线与圆 交于
23、， 两点，求 的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】分析：（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，求得圆心 所对应的直角坐标系下坐标，即可求解圆 的直角坐标系方程，消去参数得到直线的直角坐标系方程；（2）利用圆心到直线的距离为 ，再利用圆的弦长公式，求得弦长 ，即可求解 的面积详解：（1） 所对应的直角坐标系下的点为 ，圆 的直角坐标系方程为：；的直角坐标系方程为： ，即 .（2）圆心到直线的距离为 ，弦长 ， .点睛：本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23. 选修 4-5：不等式选讲（1）已知 ， 都是正实数，且 ，求 的最小值；（2） ， ，求 .【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】分析：（1）由柯西不等式，即可求解 的最小值；（2）利用绝对值的三角不等式，即可求解 .详解：（1）由柯西不等式得 ，当且仅当 时取等号； ， 的最小值为 .（2） .点睛：本题主要考查了柯西不等式和绝对值三角不等式的应用，其中熟记柯西不等式和绝对值三角不等式，合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力
