1、天津一中、益中学校 2017-2018 学年度高三年级五月考试卷数学（文史类）第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题 5 分，共 40分.1.集合 |(1)20Ax， 3|log(2)1Bx，则 ()RACB（ ）A |2 B |1x或 C |x D |12x或2.设变量 x， y满足约束条件 201y，则目标函数 2zy的最小值为（ ）A 2 B 3 C 4 D 53.下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 21x，则 ”的否命题为“若 21x，则 ”B “ ”是“ 560”的必要不充分条件C命题“ 0xR， 20x”的否定是“ xR， 210x”D命
2、题“若 y，则 siny”的逆否命题为真命题4.执行如图所示的程序框图，若输入 x的值为 4，则输出的结果是（ ）A 1 B 12 C 54 D 1385.若抛物线 2(0)ypx的焦点到双曲线218xyp的渐近线的距离为 24p，则抛物线的标准方程为（ ）A 216yx B 28yx C 24yx D 23yx6.已知 0， ， lglgy，则 13的最小值是（ ）A 4 B 2 C 2 D 237.已知 fx是定义在区间 1,上的奇函数，当 0x时， 1fx.则关于 m的不等式210m的解集为（ ）A 0, B (,) C (2,) D 0,2)8.已知函数 24sini4xfxsinx在
3、区间 ,3上是增函数，且在区间0,上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）A ,1 B 30,4 C 1, D 1,24第卷二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.已知复数 13aiz是纯虚数（其中 i为虚数单位， aR） ，则 z的虚部为 10.已知在平面直角坐标系中，曲线 lnfxx在 处的切线过原点，则 a 11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12.已知直线 yax与圆 C： 220yaxy相交于 A， B两点，且 AC为等边三角形，则圆 C的面积为 13.在平面四边形 ABD中，已知 3， DC，点 E， F分别在边 D， 上，且
4、3AE，3BCF，若向量 AB与 DC的夹角为 60，则 ABEF的值为 14.定义在 R上的函数 fx满足 4ffx， 21,3xf x.若关于 x的方程0fxa有 5个不同实根，则正实数 a的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在 ABC中，内角 ， B， C所对的边分别为 ， b， c.已知 sin4iaAbB，225()acbc.（1）求 os的值；（2）求 in()BA的值.16.为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各随机抽取了 8名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示.（1）计算甲、乙两地被抽
5、取的观众问卷的平均分与方差.（2）若从甲地被抽取的 8名观众中再邀请 2名进行深入调研，求这 2名观众中恰有 1人的问卷调查成绩在90分以上的概率.17.如图，四边形 ABCD为矩形，四边形 BCEF为直角梯形， /BFCE， B， FCE，2BF， 1， 5.（1）求证： BCAF；（2）求证： /平面 DE；（3）若二面角 EBCA的大小为 120，求直线 DF与平面 ABC所成的角.18.已知数列 na， 0，其前 n项和 nS满足 12na，其中 *N.（1）设 2b，证明：数列 b是等差数列；（2）设 nnc， T为数列 nc的前 项和，求证： 3nT；（3）设 14()2bd（ 为
6、非零整数， *N） ，试确定 的值，使得对任意 *nN，都有1n成立.19.已知椭圆 C：21(0)xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，若椭圆经过点 6,1P，且12PF的面积为 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）设斜率为 的直线 l与以原点为圆心，半径为 2的圆交于 A， B两点，与椭圆 C交于 ， D两点，且 ()CDABR，当 取得最小值时，求直线 l的方程.20.设函数 2lnfxax， gax.（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 Fxfx有两个零点 1x， 2；（i）求满足条件的最小正整数 a的值.（ii）求证： 120.参考答案一、选择题1-5: BBDCA 6-8: CA
7、D二、填空题9. 1 10. e 11. 8163 12. 6 13. 7 14. 1,8256三、解答题15.【答案】 （1） 5；（2） 5.【解析】试题分析：（1）首先根据正弦定理 siniabAB得到 2ab，再根据余弦定理即可求得cosA的值；（2）根据（1）的结论和条件，由 co求得 s，然后根据 sin4iAbB求得 sin，再求 B，然后由二倍角公式求 si2B， ，最后代入 in()的展开式即可.试题解析：（1）由 sin4aAb及 insiabA，得 2ab.由 225()acbc及余弦定理，得22cocb5ca.（2）由（1）可得 5sinA，代入 sin4iaAB，得
8、sini45Ab.由（1）知 为钝角，所以 25co1iB.于是 4sin2is5B， 23ssinB，故 i()ico2iAA4525().16.【解析】试题分析：（1）利用茎叶图数据，即可求出答案；（2）根据茎叶图数据，利用方差公式即可求解；（3）从 8人中任取 2人，利用列举法能求出参加调研的观众中恰有 1人的问卷调查成绩在 90分以上的概率；解析：（1）依题意， 1(702849028x甲 4835)，(7084935x乙 35)5；（2） 22)()s甲 222(1)()2(5)(8.，2 217805)s乙 222()(385)()2(90)(941.（3）依题意，所有的事件的可能
9、性为 7,9， ,， 7,2， 8,4， 7,8， ,93，78,5， ,1， 7,82， ， 8， 93， 5， 12， 4，1， 93， 5， ,4， 2,， ,， ,， ,， ,，84,95， ,3， 8,95， 3,，共 28种，其中满足条件的为 7， ， 79,， ,5， 81,93， ,5， 82,93， ,5，,， ,， ,， ,，共 1种，故所求概率 27P.17.（1）四边形 ABCD为矩形， ABC，又 FB， A， F是平面 AB内的两条相交直线， 平面 F， 平面 ， .（2）在 E上取一点 M，使 ，连 M， /E， /CM，四边形 为平行四边形， /FBC， /AD
10、，四边形 F为平行四边形， A， 平面 CE， 平面 DC， /AF平面 D.（3） ， B， 就是二面角 EB的平面角， 120BF， ， A， 5D， 2cosAFAF7，在直角 中， 23，过 F作 N与 B的延长线垂直， N是垂足，在直角 NB中， 3， C平面 A， C平面 AB，平面 F平面 ACD， 平面 D， F是直线 D与平面 所成的角，在直角 F中， 31sin2， 30.18.【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 1.【解析】解：（1）当 1时， 14Sa， 1，当 n时， 22nnnnaS， 12，即 1， nb（常数） ，又 12a， n是首项为 2，
11、公差为 1的等差数列， 1nb.（2） (1)nnc，23T， 21nT，相减得 231112nnT21()n132n， 3nnn.（3）由 1d，得 124()n14()2n，24()nn 0n， 330，120，当 n为奇数时， 12n， ；当 为偶数时， ， 2， 1，又 为非零整数， .19.【答案】 （1）2184xy；（2） 最小值 63，直线 l的方程为 yx.【解析】 （1）由 12PF的面积可得 12c，即 c， 24ab. 又椭圆 C过点 6,， 2ab. 由解得 2a， ，故椭圆 C的标准方程为2184xy.（2）设直线 l的方程为 yxm，则原点到直线 l的距离 2md
12、，由弦长公式可得228AB.将 yxm代入椭圆方程214xy，得 223480xm，由判别式 221680，解得 3.由直线和圆相交的条件可得 dr，即 2，也即 2，综上可得 m的取值范围是 2,.设 1,Cxy， 2,Dxy，则 1243mx，2183x，由弦长公式，得 2114CDxx26839m 241m.由 AB，得238234. 2m， 204，则当 0m时， 取得最小值 63，此时直线 l的方程为 yx.20.【答案】 （1） fx的单调增区间为 2,a，单调减区间为 20,a；（2） （i） 3；（ii）见解析.解：（1） 2 (0)axfx.当 0a时， 0f在 ,上恒成立，
13、所以函数 fx单调递增区间为 0,，此时 fx无单调减区间.当 0a时，由 0fx，得 2a， 0fx，得 2ax，所以函数 f的单调增区间为 ,，单调减区间为 ,.（2） （i） 2aFxx2()xa(2)1(0)x.因为函数 有两个零点，所以 0，此时函数 f在 ,单调递增，在 ,2a单调递减.所以Fx的最小值 2a，即 24ln02a.因为 0a，所以 4ln0，令 2h，显然 ha在 ,上为增函数，且 3810,4lnl06h，所以 02,3a， 0ha.当 0a时， a；当 0a时， h，所以满足条件的最小正整数 3.又当 3时， 32lnF， 1F，所以 3a时， fx有两个零点.综上所述，满足条件的最小正整数 a的值为 3.（2）证明：不妨设 120x，于是 2111lnxxa222lnxax，即 11lnxa22l0，22x11laxax12llx.所以21lnla.因为 02F，当 ,2ax时， 0Fx，当 ,2a时， 0Fx，故只要证 1即可，即证明2112lnlx，即证 211212lnxxx1，也就是证 212ln.设 12(0)xtt.令 lntmt，则 22114 tmtt.因为 0t，所以 0t，当且仅当 1时， ，所以 mt在 ,上是增函数.又 0，所以当 0,1， 0mt总成立，所以原题得证.
