2018年安徽省芜湖市高三上学期期末考试（一模）理科数学试题 PDF版.rar

由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建由 扫描全能王 扫描创建 1 芜湖市 2017-2018 学年度第 一学期高三 学习考试 数 学试卷（ 理 科 ）参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A 9.C 10.C 11.C 12.B 二、填空题 13.32 14. 2 4yx 15.3 16.28π3 三、解答题 17.解： （ 1）    2 1 3nnS n a+ ， ① 当 2n≥ 时，    112 1 2nnS n a+ ，② ①-②得 ，     112nnn a n a ++. 所以  1 221nnaa nnn++ ≥. 故2nan+是首项为 13 的 常数列，所以  1 23nan +. ………………… 6 分  11 9 1 192 ( 3 ) 2 3n nnb a a n n n n       ， 1 1 99 3 33 3 3nT nn. ………………… 12 分 18.解： （ 1）数学成绩的平均分为 0 . 0 1 2 4 5 + 0 . 0 2 5 5 + 0 . 0 2 5 6 5 + 0 . 0 3 5 7 5 + 0 . 0 0 6 8 5 + 0 . 0 0 2 9 5 1 0 =6 5 . 9 根据语文成绩的正态分布知语文平均分为 70 分 ， 所以语文平均分高些 . .……… 4 分 （ 2） 语文成绩优秀的概率为1 18 5 1 0 . 9 6 0 . 0 22p P X， 数学成绩优秀的概率为2 10 . 0 0 6 +0 . 0 0 2 1 0 0 . 0 52p， 语文成绩优秀人数为 200 0.02 4人 ，数学成绩优秀人数为 200 0.05 10人 .……… 8 分（ 3） 语文数学两科都 优秀的 4 人，单科优秀的有 6 人， X所有可能的取值为 0,1,2,3， 2 3 1 26 4 6331 0 1 0110 , 162C C CP X P XCC，21 346 4331 0 1 0312 , 31 0 3 0CC CP X P XX的分布列为 X P(X) 1612 310 130 数学期望 1 1 3 1 60 1 2 36 2 1 0 3 0 5EX . ………………… 12 分 19.解 ： （ 1）因为点 ,EF分别是边 ,CDCB 的中点，所以 //BD EF ， 因为菱形 ABCD 的对角线互相垂直，所以 BD AC ，故 EF AC . 翻折后即有 ,EF AO EF PO 因为 AO 平面 ,PAO PO 平面 ,PAO AO PO O,所以 EF 平面 PAO ， 又因为 EF 平面 PEF ，所以平面 PEF 平面 POA . ………………… 5 分 （ 2） 解法一： 设 AO BD H ,连接 BO. 6 0 ,D AB ABD   为等边三角形， 4 , 2 , 2 3 , 3B D B H H A H O P O     ， 在 Rt BHO 中， 22 7B O B H H O  ，在 PBO 中， 2 2 210BO PO PB  ， PO BO, ,P O B O P O E F E F B O O  ， PO平面 BFED ， …………………7 分 以 O 为原点， ,,OAOF OP 所在直线分别为 ,,xyz 轴， 建立空间直角坐标系 O xyz ， 则 3 3 , 0 , 0 , 3 , 2 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 1 , 0A B P E， 3 3 , 0 , 3 , 2 3 , 2 , 0 , 0 , 1 , 3A P A B P E， 设平面 PAB 的一个法向量为  ,,n x y z ，由 ,n AP n AB得 3 3 3 02 3 2 0xzxy， 令 1x ，得 1, 3,3n ，取平面 PEF 的 一个法向量为 1,0,0m ， 0 1 2 3OFEBCA HDxyzP3 则 1 1 3c o s .131 1 3mnmn mn所以平面 PEF 与平面 PAB 所成 二面角 的余弦值为 1313 . ………………… 12 分 解法二：分 别延长 EF 和 AB 相交于点 G，连 PG，设AO BD K ， 连接 , 6 0B O D A B A B D   为等边三角形 . 4 , 2 , 2 3 , 3B D B K K A K O P O     ， 在Rt BKO 中， 22 7B O B K K O  ， 在 PBO 中， 2 2 210BO PO PB  ， PO BO， ,P O E F E F B O OPO平面 BFED ， 又 EF AO ， AO 平面 PFE ， 过点 O 做 OH PG ， 连 AH ，则 AHO 为平面 PEF 与平面 PAB 所成 二面角的平面角 . ………………… 8 分 在 ΔPOG 中， 33 , 3 , 2 3 , 2O P O GO P O G P G O H PG， ta n 2 3OAA H O OH， 13co s 13AHO . ………………… 12 分 20. 解： （ 1）在 ΔABC 中，由余弦定理 2 2 2 2 c o sA B C A C B C A C B C 2 34C A C B C A C B. 又Δ 1 3 3 4s i n ,2 4 3 3ABCS C A C B C C A C B C A C B， 代入上式得 22CA CB ,即椭圆长轴 2 2 2a ，焦距 22c AB ， 所以椭圆 M 的标准方程为 2 2 12x y. ………………… 5 分 （ 2）设直线方程  1y k x,联立 2 2 121x yy k x  ， 得  2 2 2 2 21 2 4 2 2 0 , 8 8 0k x k x k k        ， GOFEBCA KDPH4 设交点 1 1 2 2, , ,E x y F x y，∴ 221 2 1 24 2 2,1 2 1 2kkx x x x   . 假设 x 轴上存在定点  0,0Dx ，使得 DEDF 为定值， ∴      1 1 2 2 1 2 1 2 120 0 0 0 2,,D E D F x x y x x y x x x x x x y y              2201 2 1 2 1 20 11x x x x x x k x x           1 2 12 2 2 20021 k x x x k x x x k          2 2 20 0 022 4 1 212x x k xk     . ………………… 10 分 要使 DEDF 为定值，则 DEDF 的值与 k 无关，∴  220 0 02 4 1 2 2x x x   ， 解得0 54x，此时 716DE DE 为定值，定点为 5,04. ………………… 12 分 21 解： （ 1） ln 2f x x x m m的定义域为 1,ee，且 1' 0 , 1xf x xx 当 (0,1)x 时 '( ) 0fx 所以 ()y f x 在 (0,1) 递增 ； 当 (1, )x  时 '( ) 0fx 所以 ()y f x 在 (1, ) 递减 ， 且 111 , 1f m f e e mee，因 1120f f e eee， 函数 fx在 1,ee的最小值为 1 em. ………………… 5 分 由（ 1） 知 12,xx满足 ln 0x x m   ， 且 120 1, 1xx  ， 1 1 2 2l n l n 0x x m x x m      ， 由题意可知 22ln 2 ln 2 2x x m      又有（ 1）可知 ( ) lnf x x x在 (1, ) 递减 ， 故 2 2x ， 所以1 210 , 1x x， 则1 1 1 2 22 2 2 2 21 1 1 1 1l n l n l n l nf x f x x x xx x x x x2221 2 lnxxx………………… 8 分 令 1 2 ln 2g x x x xx， 5 则 222 2 211 2 2 1' 1 0xxxgx x x x x， 当 2x 时， gx是减函数，所以 32 ln 42g x g ………………… 10 分 因 333 2 2 322 1 . 63 2 . 5 6 1 . 6 4 . 0 9 6l n 4 l n l n l n l n l n l n 1 02 4 4 4 4 4e ， 即 0gx ，所以当 2x 时，1 21 0f x f x，即1 21f x f x因为1 210 , 1x x， fx在 0,1 上单调递增，所以1 21x x，故 121xx ． ………… 12 分 22.解 : （ 1）将 ρ co s θ, ρ sin θxy代入直线方程得 3 ρ c o s θ ρ s i n θ 3 1 0， 由22cos1 cos  可得 22ρ 1 c o s θ 2ρ c o s θ， 曲线 C 的直角坐标方程为 2 2yx. ……………… 5 分 （ 2）直线 l 的倾斜角为 3 ， ∴ 直线 l 的倾斜角也为 3 ，又直线 l 过点  2,0M ， ∴ 直线 l 的参数方程为12232xtyt  （ t 为参数），将其代入曲线 C 的直角坐标方程可得23 4 16 0tt  ，设点 ,AB对应的参数分别为 12,tt． 由一元二次方程的根与系数的关系知1 2 1 21 6 4,33t t t t  ， ∴   221 2 1 2 1 2 4 1 6 4 4 1 34 3 3 3A B t t t t t t             ． ………………… 10 分 23．解 ： （ 1） 不等式 ( ) 4 | 1|f x x   可化为： | 3 2 | | 1 | 4xx    ① 当 23x时， ①式为 3 2 1 4xx    ，解得 5243x  ； 当 2 13 x  ， ①式为 3 2 1 4xx    ，解得 2132x  ； 当 1x 时， ①式为 3 2 1 4xx    ，无解． 综上所述，不等式 ( ) 4 | 1|f x x   的解集为 51()42 ，． ………………… 5 分6 （ 2）解： 1 1 1 1( ) ( ) 2 4nmmnm n m n m n       ≥令  1 2 2 2( ) | | ( ) | | | |3 3 3 3g x x a f x x a x x a x a            ∴max 2() 3g x a， 要使不等式恒成立，只需max 2( ) 43g x a ≤，即 1003a ≤∴实数 a 取值范围是 10(0 ]3，． … 10 分