1、2.2.2 反证法明目标、知重点1了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题1定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法 2反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等情境导学王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话
2、，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的 ”这就是著名的“道旁苦李”的故事王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法反证法探究点一 反证法的概念思考 1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即 “李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“ 早被路人摘光了”) ，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法思考 2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾反证法引出的矛盾有几种情况？答 (1)与原题中的条件矛盾；(2)与定义、公理、定理
3、、公式等矛盾；(3)与假设矛盾思考 3 反证法主要适用于什么情形？答 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论例 1 已知直线 a，b 和平面 ，如果 a，b，且 a b，求证：a .证明 因为 ab，所以经过直线 a，b 确定一个平面 .因为 a，而 a ，所以 与 是两个不同的平面因为 b，且 b ，所以 b.下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点假设直线 a 与平面 有公共点 P，如图所示，则 Pb，即点 P 是直线
4、a 与 b 的公共点，这与 ab 矛盾所以 a.反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法跟踪训练 1 如图，已知 ab，a平面 A.求证：直线 b 与平面 必相交证明 假设 b 与平面 不相交，即 b 或 b.若 b，因为 ba，a，所以 a，这与 aA 相矛盾；如图所示，如果 b，则 a，b 确定平面 .显然 与 相交，设 c，因为 b，所以 bc.又 ab，从而 ac，且 a，c ，则 a，这与 aA 相矛盾由知，假设不成立，故直线 b 与平面 必相
5、交探究点三 用反证法证明否定性命题例 2 求证： 不是有理数2证明 假设 是有理数于是，2存在互质的正整数 m，n，使得 ，从而有 m n，因此 m22n 2，2mn 2所以 m 为偶数于是可设 m2k(k 是正整数)，从而有4k22n 2，即 n22k 2，所以 n 也为偶数这与 m，n 互质矛盾由上述矛盾可知假设错误，从而 不是有理数2反思与感悟 当结论中含有“不” 、 “不是、 “不可能” 、 “不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法跟踪训练 2 已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成a b c等差数列证明 假设 ， ，
6、 成等差数列，则a b c 2 ，即 ac2 4b，a c b ac而 b2ac，即 b ，a c2 4 ，ac ac ac( )20.即 ，a c a c从而 abc，与 a，b，c 不成等差数列矛盾，故 ， ， 不成等差数列a b c探究点四 含至多、至少、唯一型命题的证明例 3 若函数 f(x)在区间a，b 上是增函数，那么方程 f(x)0 在区间a，b上至多有一个实根证明 假设方程 f(x)0 在区间a，b 上至少有两个实根，设 、 为其中的两个实根因为 ，不妨设 0，这与 abc0 矛盾，故 a、b、c 中至少有一个大于 0.1证明“在ABC 中至多有一个直角或钝角” ，第一步应假设
7、( )A三角形中至少有一个直角或钝角B三角形中至少有两个直角或钝角C三角形中没有直角或钝角D三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60”，应先假设这个三角形中( )A有一个内角小于 60 B每一个内角都小于 60C有一个内角大于 60 D每一个内角都大于 60答案 B3 “abCab Dab 或 ab答案 D4用反证法证明“在同一平面内，若 ac，bc，则 ab”时，应假设( )Aa 不垂直于 c Ba，b 都不垂直于 cCab Da 与 b 相交答案 D5已知 a0，证明：关于 x 的方程 axb 有且只有一个根证明 由于 a0，因此方程至少有一个
8、根 x .ba如果方程不止一个根，不妨设 x1，x 2 是它的两个不同的根，即 ax1b， ax2b. ，得 a(x1x 2)0.因为 x1x 2，所以 x1x 20，所以应有 a0，这与已知矛盾，故假设错误所以，当 a0 时，方程 axb 有且只有一个根呈重点、现规律1反证法证明的基本步骤是什么？(1)假设命题结论的反面是正确的；( 反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的( 结论)2反证法证题与“逆否命题法”是否相同？反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完
9、全是证明一个命题的逆否命题反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾因此，反证法与证明逆否命题是不同的.一、基础过关1反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是( )与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义、公理、定理矛盾 与事实矛盾A B C D答案 D2否定：“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )Aa，b，c 都是偶数Ba，b，c 都是奇数Ca，b，c 中至少有两个偶数Da，b，c 中都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析 自然数 a，b，c 的奇偶性共有四种情形：3 个都是奇数，1 个偶数 2 个奇数，2 个偶
10、数 1 个奇数，3 个都是偶数，所以否定“自然数 a，b，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c”中都是奇数或至少有两个偶数3有下列叙述：“ab”的反面是“ay 或 x0，x 11 且 xn1 (n1,2，)，试证：“数列x n对任意的正整数 nxnx2n 33x2n 1都满足 xnxn1 ”，当此题用反证法否定结论时应为( )A对任意的正整数 n，有 xnx n1B存在正整数 n，使 xnx n1C存在正整数 n，使 xnx n1D存在正整数 n，使 xnx n1答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个” 9设 a，b，c 都是正数，则三个数 a ，b ，c ( )1b 1c 1aA
11、都大于 2 B至少有一个大于 2C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2答案 C解析 假设 a .2(2a) 2 8a4a( a2)0，abbcca 0，abc 0.求证：a0，b0，c0.证明 用反证法：假设 a，b，c 不都是正数，由 abc0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设 a0 ，则由 abc0，可得 c( ab )，又 ab0，ab0，b 20，a 2abb 2(a 2abb 2)0 矛盾，所以假设不成立因此 a0，b0，c0 成立12已知 a，b，c(0,1)，求证：(1a) b，(1b) c，(1 c) a 不可能都大于 .14证明 假设三个式子同时大于
12、 ，14即(1a) b ，(1b)c ，(1c)a ，14 14 14三式相乘得(1a)a(1b)b(1c )c ，143又因为 0a1，所以 0a(1a)( )2 .a 1 a2 14同理 0b(1b) ，0c(1c) ，14 14所以(1a) a(1b)b(1 c )c 143与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立三、探究与拓展13已知 f(x)是 R 上的增函数， a，bR.证明下面两个命题：(1)若 ab0，则 f(a)f(b)f (a)f(b)；(2)若 f(a)f(b)f( a)f(b)，则 ab0.证明 (1)因为 ab0，所以 ab，ba，又因为 f(x)是 R 上的增函数，所以 f(a)f (b)，f(b)f(a)，由不等式的性质可知 f(a)f(b) f (a) f (b)(2)假设 ab0，则 ab，ba，因为 f(x)是 R 上的增函数，所以 f(a)f (b)，f(b)f(a)，所以 f(a)f(b)f(a)f(b)，这与已知 f(a) f(b)f(a)f (b)矛盾，所以假设不正确，所以原命题成立
