1、第 3 章 单元检测(B 卷)(时间：120 分钟 满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1在以下命题中，不正确的个数为_|a |b| a b|是 a，b 共线的充要条件；若 a b，则存在惟一的实数 ，使 a b；若 ab0，bc0，则 ac；若a，b，c为空间的一个基底，则 ab，bc，ca构成空间的另一基底；|( ab)c| a|b|c|.2已知 a 与 b 是非零向量且满足(a2b) a，(b2a) b，则 a 与 b 的夹角是_3若向量 a(1，x,2)，b(2，1,2)，且 a，b 夹角的余弦值为 ，则 x_.894若 ae 1e 2e
2、3，be 1e 2e 3，c e 1e 2，de 12e 23e 3(e1，e 2，e 3为空间的一个基底)，且 dxaybzc，则 x，y ，z 分别为_5已知向量 a(1,1,0)，b( 1,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 值是_6已知 a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为_7.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值为 _8.如图所示，BAD90的等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所在平面互相垂直，E 是 BC 的中点，则
3、 AE 与平面 BCD 所成角的大小为_9.如图，在五面体 ABCDEF 中，FA平面ABCD，AD BCFE ，AB AD，AFAB BC FE AD，则异面直线 BF 与 DE 所12成的角的大小为_10.已知四面体 ABCD 的六条棱长都是 1，则直线 AD 与平面 ABC 的夹角的余弦值为_11已知四边形 ABCD 中， a2c ， 5a6b8c，对角线 AC，BD 的中点分AB CD 别为 E，F ，则 _.EF 12如果向量 a(1,0,1)，b(0,1,1)分别平行于平面 ， 且都与此两平面的交线 l 垂直，则二面角 l 的大小是_13.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1
4、中，二面角 BA1C1B1 的正切值为_14已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m( ，1)，n(cos 3A，sin A) 若 mn ，且 acos Bbcos Acsin C ，则角 B_.二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分)如图所示，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结 PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H 分别为PAB、PBC、PCD、PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H 四点共面16(14 分)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G 、H 、 M、N 分别是正方体六个表面
5、的中心，试确定平面 EFG 和平面 HMN 的位置关系17.(14 分)如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ABBC ，BB 13，D 为 A1C1 的中点，F 在线段 AA1 上，2(1)AF 为何值时，CF平面 B1DF?(2)设 AF1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值18(16 分)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，EFAB，EF FB ，AB2EF，BFC90，BFFC ， H 为 BC 的中点(1)求证：FH 平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB；(3)求二面角 BDEC 的大小19.(16 分
6、)已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 12，底面 ABCD 是直角梯形，A 为直角，ABCD，AB 4，AD2，DC1，求异面直线 BC1 与 DC 所成角的余弦值20(16 分) 在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中， ABC90 ，SA面ABCD，SA ABBC1，AD .求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值12第 3 章 空间向量与立体几何(B)14解析 不正确，由|a| |b| |ab|知 a 与 b 反向，a 与 b 共线，但 a 与 b 共线不一定有|a|b| | ab|；不正确，应加上条件 b0；不正确，当 b0 时，a 与 c 不一定相等；正确；不
7、正确，应为|(ab)c|a|b|c|.2.3解析 由已知(a2b) a0， (b2a)b0a 22abb 2.cosa，b ，a，b .ab|a|b| ab|a|2 12 332 或255解析 cosa，b ，ab|a|b| 6 x35 x2 89解得 x2 或 x .2554. ， ，152 12解析 dxay bzc (x yz) e1(xy z )e2(xy)e 3e 12e 23e 3，空间任一向量都可以用一个空间基底惟一表示，从而得到Error!解得 x ，y ，z1.52 125.756. 65解析 因为|a| |b|，所以平行四边形为菱形，又 ab(4,1,3)，ab(0， 3,
8、1)，|a b| ，|ab| ，26 10S |a b|ab| .12 12 26 10 657.25解析 建立如图所示，空间直角坐标系 Dxyz，则 ，AM (0，12，1) ， ，CN (1，0，12) AM CN 12| | | ，AM CN 52所以 cos ， .AM CN 1252 52 25845960解析 以点 A 为坐标原点，AB，AD，AF 分别为 x，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Axyz，设 AB1，依题意得 B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0) ，E(0,1,1)，F(0,0,1) ( 1,0,1)， (0，1,1)，BF DE 于是 co
9、s ， .BF DE BF DE |BF |DE | 0 0 122 12所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60.10.33113a3b5c解析 取 AD 中点 P，连结 EP，FP，则 ， ，所以 (6a6b10c)3a3b5c.PF 12AB EP 12CD EF EP PF 12AB 12CD 121260或 120解析 cosa，b ，ab|a|b| 0 0 122 12所以 a 与 b 夹角为 60或 120，即 l 大小为 60或 120.13. 214.6解析 由题意知 mn0， cos Asin A0，3tan A ， A ，又acos Bbcos Acsin C
10、 ，即 sin Acos Bsin Bcos Asin 2C，33sin(AB )sin 2C，sin(C)sin 2C，sin C sin 2C，sin C1，C ，B .2 615证明 分别延长 PE、PF、PG、PH 交对边于 M、N 、Q、R.E、F、G、H 分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R 为所在边的中点，顺次连结 M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有 ，PE 23PM ， ， .PF 23PN PG 23PQ PH 23PR MNQR 为平行四边形， EG PG PE ( )23PQ 23PM 23MQ 23MN MR ( ) ( )23PN PM 23PR PM 23(32PF 32PE ) 23(32PH 32PE ) .EF EH 由共面向量定理得 E、F、G 、H 四点共面16解 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，易得 E(1,1,0)，F(1,0,1) ，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M (1,2,1)，N(0,1,1) (0 ，1,1)， (1,0,1)，EF EG (0,1， 1)， (1,0，1)HM HN 设 m(x 1，y 1，z 1)，n(x 2，y 2，z 2)分别是平面 EFG、平面 HMN 的法向量，由Error! Error!，令 x11，
