1、第二章 2.1 第 2 课时一、选择题1椭圆 6x2y 26 的长轴的端点坐标是( )A(1,0) ，(1,0) B(6,0) ，(6,0)C( ，0)，( ，0) D(0 ， )，(0， )6 6 6 6答案 D解析 椭圆的焦点在 y 轴上，且 a26，长轴的两个端点坐标为(0， )，(0 ， )6 62椭圆 1 和 k(k0)具有( )x2a2 y2b2 x2a2 y2b2A相同的长轴 B相同的焦点C相同的顶点 D相同的离心率答案 D解析 椭圆 1 和 k(k0)中，不妨设 ab，椭圆 1 的离心率x2a2 y2b2 x2a2 y2b2 x2a2 y2b2e1 ，椭圆 1( k0)的离心率
2、 e2 .a2 b2a x2a2k y2b2k ka2 b2ka a2 b2a3椭圆(m1)x 2my 21 的长轴长是 ( )A. B.2m 1m 1 2 mmC. D2mm 21 mm 2答案 C解析 椭圆方程可简化为 1，由题意知 m0， 0)，则此椭圆的离心率为( )A. B. 13 33C. D.22 12答案 B解析 2x 23y 2m( m0) 1，x2m2y2m3c 2 .m2 m3 m6e 2 .故选 B.135焦点在 x 轴上，长、短半轴之和为 10，焦距为 4 ，则椭圆的方程为( )5A. 1 B. 1x236 y216 x216 y236C. 1 D. 1x26 y24
3、 y26 x24答案 A解析 由题意得 c2 ，ab10，b 2(10 a) 2a 2c 2a 220，5解得 a236，b 216，故椭圆方程为 1.x236 y2166以椭圆两焦点 F1、F 2 所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率 e 等于( )A. B.12 22C. D.32 255答案 B解析 由题意得 bc ，a 2b 2c 22c 2，e .ca 22二、填空题7经过椭圆 1(ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为_x2a2 y2b2答案 2b2a解析 垂直于椭圆长轴的弦所在直线为 xc ，由Error!，得 y2 ，|y| ，故弦长为 .b4a2 b2
4、a 2b2a8椭圆 1 的离心率为 ，则 m_.x24 y2m 12答案 或 3163解析 当 04 时，e ，m .m 4m 12 163三、解答题9椭圆 1(ab0)的两焦点为 F1(0，c)、F 2(0， c)(c0)，离心率 e ，焦点y2a2 x2b2 32到椭圆上点的最短距离为 2 ，求椭圆的方程3解析 由已知得Error!，a a2 ，a2，c ，33 3 3b 2a 2c 21.椭圆的方程为 x 21.y24一、选择题1中心在原点、焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A. 1 B. 1x281 y272 x281 y29C. 1
5、 D. 1x281 y245 x281 y236答案 A解析 2a18，a9，由题意得 2c 2a 186，13 13c3，a 281，b 2a 2c 281972，故椭圆方程为 1.x281 y2722若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F1，则满足ABF 1 为等边三角形的椭圆的离心率是( )A. B.14 12C. D.22 32答案 D解析 由题意得 a2b，a 24b 24(a 2c 2)， .ca 323若椭圆两焦点为 F1(4,0)、F 2(4,0)，P 在椭圆上，且PF 1F2 的最大面积是 12，则椭圆方程是( )A. 1 B. 1x236 y220 x228 y212C.
6、 1 D. 1x225 y29 x220 y24答案 C解析 由题意得 c4，P 在椭圆上，且PF 1F2 的最大面积为12， 2cb12，即 bc 12，12b3，a5，故椭圆方程为 1.x225 y294(2014全国大纲文)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点为 F1、F 2，离心率x2a2 y2b2为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为( )33 3A. 1 B. y 21x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24答案 A解析 e ，又AF 1B 的周长比为 4 ，ca 33 34a4 ，
7、a ，c1.b 2a 2c 22.3 3故 C 的方程为 1.x23 y22二、填空题5直线 x2y20 经过椭圆 1(ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的x2a2 y2b2离心率等于_答案 255解析 由题意知椭圆焦点在 x 轴上，在直线 x2y 20 中，令 y0 得 c2；令 x0 得 b1.a .b2 c2 5e .ca 2556直线 yxm 被椭圆 2x2y 22 截得的线段的中点横坐标为 ，则中点的纵坐标为16_答案 13解析 解法一：由Error!，消去 y 并整理得 3x22mxm 220.设线段的端点为 A(x1，y 1)、B( x2，y 2)，则 x1x 2 ，13 ，
8、m .2m3 13 12由中点在直线 yx 上得纵坐标 y .12 16 12 13解法二：设线段的端点为 A(x1，y 1)、B( x2，y 2)，则 2x y 2，21 212x y 2.相减得2 22(x1x 2)(x1x 2)(y 1y 2)(y1y 2)0.把 1，x 1x 2 代入上式得 ，y1 y2x1 x2 13 y1 y22 13即为中点的纵坐标三、解答题7求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是 10，离心率是 ；45(2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.解析 (1)设椭圆的方程为 1(a b0)或 1(ab0)x2a2 y2b2
9、y2a2 x2b2由已知得 2a10，a5.e ，c4.ca 45b 2a 2c 225169.椭圆的标准方程为 1 或 1.x225 y29 x29 y225(2)依题意可设椭圆方程为 1(a b0)x2a2 y2b2如图所示， A1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高) ，且|OF|c，| A1A2|2b，cb3，a 2b 2c 218，故所求椭圆的标准方程为 1.x218 y298如图所示，F 1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心率23解析 解法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分
10、别为 a、b、c.则焦点为F1( c,0)、F 2(c,0)，M 点的坐标为( c， b)，则MF 1F2 为直角三角形23在 Rt MF1F2 中， |F1F2|2|MF 2|2| MF1|2，即 4c2 b2|MF 1|2.49而|MF 1|MF 2| b2a.4c2 49b2 23整理得 3c23a 22ab.又 c2a 2b 2，所以 3b2a.所以 .b2a2 49e 2 1 ，c2a2 a2 b2a2 b2a2 59e .53解法二：设椭圆方程为 1(a b0)，x2a2 y2b2则 M(c， b)代入椭圆方程，得 1，23 c2a2 4b29b2所以 ，c2a2 59所以 ，即 e .ca 53 539已知斜率为 2 的直线 l 被椭圆 1 截得的弦长为 ，求直线 l 的方程x23 y22 307解析 设直线 l 的方程为 y2xm，与椭圆交于 A、B 两点的坐标分别为 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，由Error!，消去 y 并整理得 14x212mx3(m 22)0，所以 x1x 2 m，x 1x2 (m22) ，67 314由弦长公式得|AB| ，1 k2 x1 x22 4x1x2 53649m2 67m2 2 307解得 m ，所以直线 l 的方程为 y2x .13 13
