1、第二章 2.2 第 2 课时一、选择题1已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0) 、(4,0)，则双曲线方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. 1 D. 1x210 y26 x26 y210答案 A解析 e 2，由 c4 得 a2.ca所以 b2c 2a 212.因为焦点在 x 轴上，所以双曲线方程为 1.x24 y2122双曲线 4x2my 24m 的虚轴长是( )A2m B2mC2 D2m m答案 D解析 双曲线 4x2my 24m 可化为： 1，x2m y24m0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的x2a2 y2b2距离为 ，则 C 的焦距等于( )3A
2、2 B2 2C4 D4 2答案 C解析 双曲线的一条渐近线方程为 0，即 bxay 0，焦点(c,0) 到渐近线的距xa yb离为 ，b ，又 2，c 2a 2b 2，c2，故双曲线的焦距为 2c4.bca2 b2 bcc 3 3 ca6(2014天津文)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线x2a2 y2b2l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x25 y220 x220 y25C. 1 D. 13x225 3y2100 3x2100 3y225答案 A解析 双曲线的渐近线方程为 y x，由题意得 2.又双曲线的一个焦点在直线ba
3、 bay2x10 上，2c100，c 5.由Error!，得Error!.故双曲线方程为 1.x25 y220二、填空题7双曲线的中心在原点，离心率 e3，焦距为 6，则双曲线方程为_答案 x 2 1 或 y2 1y28 x28解析 焦距为 6，c3，由 e3 得 a1，所以 b2c 2a 28.由于焦点不确定在 x 轴或 y 轴，所以双曲线方程为 x2 1 或 y2 1.y28 x288(2013陕西理)双曲线 1 的离心率为 ，则 m 等于_x216 y2m 54答案 9解析 由已知得 a4，b ，c ，又 e ， ，m 9.m 16 m54 16 m4 54三、解答题9求一条渐近线方程是
4、 3x4y0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程解析 双曲线的一条渐近线方程为 3x4y 0，设双曲线的方程为 ，x216 y29由题意知 0，169 16 ， .1625所求的双曲线方程为 1.x225625y214425一、选择题1双曲线 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )x29 y216A. B33C4 D2答案 C解析 焦点坐标为(5,0)，渐近线方程为 y x，43一个焦点(5,0)到渐近线 y x 的距离为 4.432(2014广东文)若实数 k 满足 01C11答案 C解析 方程 x2(k 1)y 2k1，可化为 1，双曲线的焦点在 x 轴上，x2k 1 y2k 1k
5、1k10 且 0)的左右焦点分别为 F1、F 2，其一条渐近线方程为 yx，x22 y2b2点 P( ，y 0)在该双曲线上，则 ( )3 PF1 PF2 A12 B2C0 D4答案 C解析 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质由题意得 b22，F 1(2,0)，F 2(2,0)，又点 P( ，y 0)在双曲线上，y 1，3 20 (2 ，y 0)(2 ，y 0)PF1 PF2 3 31y 0，故选 C.20二、填空题5椭圆 1 与双曲线 y 21 焦点相同，则 a_.x24 y2a2 x2a2答案 62解析 由题意得 4a 2a 21，2a 23，a .626已知双曲线 C1： 1(a0
6、，b0)与双曲线 C2： 1 有相同的渐近线，x2a2 y2b2 x24 y216且 C1 的右焦点为 F( ，0)，则 a_，b_.5答案 1 2解析 本题考查双曲线的性质由 F( ，0) 知 a2b 25，5又两双曲线渐近线相同，则 ，b2a2 164a 21，b 24，a1，b2.三、解答题7已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F 2 在坐标轴上，离心率为 ，且过点(4 ，2)10(1)求此双曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证 MF1MF 2；(3)求F 1MF2 的面积解析 (1)因为 e ，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为2x2y 2( 0) ，因为过点
7、(4 ， )，所以 1610，即 6，所以双曲线方程为10x2y 26.(2)易知 F1(2 ，0)、F 2(2 ，0) ，3 3所以 kMF1 ，kMF 2 ，m3 23 m3 23所以 kMF1kMF2 ，m29 12 m23因为点(3，m) 在双曲线上，所以 9m 26，所以，m 23，故 kMF1kMF21，所以 MF1MF 2.(3)在F 1MF2 中，底|F 1F2|4 ，3F1F2 上的高 h|m| ，3所以 SF 1MF2 |F1F2|m|6.128双曲线 1(a1，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a,0) 和(0，b)，且点(1,0) 到直x2a2 y2b2线 l 的距
8、离与点(1,0)到直线 l 的距离之和 s c，求双曲线离心率 e 的取值范围45解析 直线 l 的方程为 1，xa yb即 bxayab0.由点到直线的距离公式，且 a1，得点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ，点( 1,0)到ba 1a2 b2直线 l 的距离d2 .ba 1a2 b2sd 1d 2 .2aba2 b2 2abc由 s c，得 c，即 5a 2c 2.45 2abc 45 c2 a2e ，5 2e 2，25( e21)4e 4，ca e2 1即 4e425e 2250， e 25( e1) e .54 52 59斜率为 2 的直线 l 在双曲线 1 上截得的弦长为 ，求
9、l 的方程x23 y22 6解析 设直线 l 的方程为 y2xm，由Error!，得 10x212mx3(m 22)0.(*)设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x1x 2 m，x 1x2 (m2 2)65 310|AB| 2 (x1x 2)2(y 1y 2)25(x 1x 2)25(x 1x 2)24x 1x25 m24 (m22)3625 310|AB| ， m26(m 22)6.6365m 215，m .15由(*)式得 24m 2240，把 m 代入上式，得 0，15m 的值为 ，15所求 l 的方程为 y2x .15点评 弦长公式：斜率为 k(k0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则|AB| |x1x 2|1 k2 1 k2x1 x22 4x1x2 |y1y 2| .1 1k2 1 1k2y1 y22 4y1y2
