1、第一章 统计案例11 独立性检验【要点梳理】1、统计学提出假设 ，采用统计量 作出判断.0H22、一般地，对两个研究对象 I 和 II，要推断“I 与 II 有关系” ，其基本步骤：（1） ；（2） ；（3） .3、 （1）如果观测值 ，那么有 99.9%的把握认为“I 与 II 有关系” ；2（2）如果观测值 ，那么有 99%的把握认为“I 与 II 有关系” ；（3）如果观测值 ，那么有 90%的把握认为“I 与 II 有关系” ；2（4）如果观测值 ，那么就认为没有充分的证据显示 “I 与 II 有关系” ，但也不能认为“与没有关系” 。【典型例题】例 1、为考察高中生的性别与是否喜欢数
2、学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取 300 名学生，得到如下列联表：喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计男 37 85 122女 35 143 178合计 72 228 300问在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？解：提出假设H0:性别与是否喜欢数学课程之间没有关系根据列联表中的数据，可以求得 514.78127343022 ）（因为当 H0 成立时， 的概率约为 0.05,所以有 95%的把握认为：性别与是.否喜欢数学课程之间有关系.点评：由列联表的数据可知，有 的男生喜欢数学课程，有%30127的女生喜欢数学课程，从直观上看，性别与是否喜欢数学
3、课程之间有关系.用%2017835进行独立检验，给出这个判断的可信程度.例 2、调查 339 名 50 岁以上吸烟习惯与患慢性气管炎的情况，获数据如下患慢性气管炎 未患慢性气管炎 合计吸烟 43 162 205不吸烟 13 121 134合计 56 283 339试问：（1）吸烟习惯与患慢性气管炎病是否有关？（2）用假设检验的思想给予证明.解：(1)根据列联表的数据，得到cdbcan22= 134285604392=7.4696.635.所以有 99%的把握认为“吸烟与患慢性气管炎病有关”.(2)假设“吸烟与患慢性气管炎之间没有关系” ，由于事件A= 的概率为 P ,即 A 为小概率事件而小概
4、率事件发635.201.)635.(2生了，进而得假设错误，这种推断出错的可能性约有 1%.点评：用独立性检验解决问题要抓住步骤，用好公式细心计算.例 3、对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计心脏搭桥手术 39 157 196血管清障手术 29 167 196合计 68 324 392试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别.解：提出假设：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.0H根据列联表中的数据，可以求得.7819613
5、246857922 ）（当 成立时 ，而 的概率为 0.85.所以，不能否定假设 .也就0H.0.2 0H是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论.点评：本题是利用 ，求出 的值，再利用临界值的)()(22 dbcadban2大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式；准确进行比较与判断.【阶梯练习】基础练习1、下列关于卡方 的说法正确的是（ ）2A. 在任何相互独立问题中都可用与检验是否相关2B. 的值越大，两个事件的相关性越大C. 是用来判断两个相互独立事件相关与否的一个统计量，它可以用来判断两个事件2是否相关这类问题D. .)()(2 dbcad
6、ban2、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法中正确的是（ ）A. 若统计量 ，我们有 99%的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么635.2他有 99%的可能患有肺病B. 若从统计中求出，有 99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在 100 个吸烟者中必有 99人患有肺病C. 若从统计量中求出有 95%把握说吸烟与患肺病有关，是指有 5%的可能性使得推断错误D. 以上说法均错误3、考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据种子处理 种子未处理 合计得病 32 101 133不得病 61 213 274合计 93 314 407根据以上数据，则下列说法正确的是（ ）A. 种子
7、经过处理跟是否生病有关B. 种子经过处理跟是否生病无关C. 种子是否经过处理决定是否生病D. 以上都是错误的4、若由一个 列联表中的数据计算得 ，那么有 的把握认为两个变2013.42量有关系.5、独立性检验所采用的思路是：要研究 A、B 两类型因子彼此相关，首先假设这两类因子彼此 ，在此假设下构造 统计量.如果 的观测值较大，那么在一定程度上22说明假设 .能力训练6、某大学在研究性别与职称（分正教授、副教授）之间是否有关系，你认为应该搜集那些数据？.7、打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得数据，试问：每一晚都打与患心脏病有关吗？有多大把握认为你的结论成立？患心
8、脏病 未患心脏病 合计每一晚都打鼾 30 224 254不打鼾 24 1355 1379合计 54 1579 16338、为了研究某种新药的副作用（如恶心等） ，给 50 位患者服用此新药，另外 50 名患者服用安慰剂，得到下列实验数据：副作用药物 有 无 合计新药 15 35 50安慰剂 4 46 50合计 19 81 100请问服用新药是否可产生副作用？9、某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革的关系，随机抽取了 189 名员工进行调查，其中支持企业改革的调查者中，工作积极的 54 人，工作一般的32 人，而不太赞成企业改革的调查者中，工作积极的 40 人，工作一般的
9、 63 人.(1)根据以上数据建立一个 的列联表；2(2)对于人力资源部的研究项目，根据以上数据可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是否有关系？1.2 回归分析【要点梳理】1、 ；称 为是 确 定 性 函 数 ，中 ，的 关 系与 bxabxayxy.称 为ba2、 ，此直线方程即为线性回归方程；直 线 xy对 数 据 的称 为 n， ，aba的 估 计 值其 中 , byniiiniiiii xyxy12212)()(， ， ，xy称 为a， .称 为b称 为3、 ，检验统计量是样),(),(,21nyxyxnyx 对 数 据随 机 抽 取 到与对 于 变 量本相关系数 r
10、 2122121122 )()()()( niniiininiiiiii yxyx越接近于 1,线形相关程度越 ；并 且具 有 以 下 性 质 ： ,rrr越接近于 0,线形相关程度越 .4、检验的步骤如下：（1）作统计假设： .(2)根据小概 0.05 与 在附表中查出 的一个临界值 .2nr05r(3)根据样本相关系数计算公式算出的 值(4)作统计推断，如果 ，表明有 的把握认为 与 之间具有线形相关05.rxy关系.如果 ，我们没有理由拒绝原来的假设，这时寻找回归直线方程是毫无意义的.【典型例题】例 1、 关于某设备的使用年限 和所支出的维修费用 （万元） ，有如xy下的统计资料：x 2
11、 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0如由资料可知 对 呈线形相关关系. 试求：（1） 线形回归方程；（2） 估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？解：（1） 550.76.832.,45632 yx5112.,90iiix23.145903.252125 xybiii于是 .83.1ya所以线形回归方程为： .0231xaby（2）当 时，10x )(.02. 万 元即估计使用 10 年是维修费用是 12.38 万元.点评：已知 呈线性相关关系，就无须进行相关性检验.否则，应先进行相关性检y与验，若两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归
12、方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的.例 2、一个车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次实验，测得的数据如下：零件个数 x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100加工时间 y（分） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122（1） ？是 否 具 有 线 性 相 关 关 系与 x（2）如果 .回 归 直 线 方 程具 有 线 形 相 关 关 系 ， 求与y（3） 并据此估计加工 200 个零件所用的时间为多少？解：（1） 510109876543201 x 7.2298756y. 101010
13、22 59,7,38i i iiyxyx于是：98.0 7.910875103.1022122102210iiiiii yxyr又查得相应于显著性水平 0.05 和 的相关系数临界值n，由62.05.r .05.具 有 相 形 相 关 关 系与知 ， xyr（2）设所求的回归直线方程为 ，同时，利用上表可得ab，68.05138079910222 xybii.46.7ya即所求的回归直线方程为 .9658.0xy(3)当 时， 的估计值20x 56.18420.故加工 200 个零件时所用的工时约为 189 个.189点评：作相关性检验有时也用画散点图，观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附
14、近，这样做既直观又方便，因而对解相关性检验问题常用，但在许多实际问题中，有时很难说这些点是不是分布在一条直线的附近，这时就很难判断两个变量之间是否有相关关系，这时就应该利用样本的相关系数对其进行相关性检验；这种方法虽然较为繁琐，但却非常准确.在计算中应该特别注意要细心，不可出现计算的错误，也可借助于计算器等进行有关计算.例 3、 为了解某地母亲身高 与女儿身高 的相关关系，随机测得 10 对母女的身高如下xy表所示：母亲身高 cmx/159 160 160 163 159 154 159 158 159 157女儿身高 y/158 159 160 161 161 155 162 157 162
15、 156试对 与 进行一元线性回归分析，并预测当母亲身高为 162cm 时女儿的身高为多少？x解： ,8.1571605998y 6.478.15071605910 22222 xi,.37.8. 98yi ,9.561.0156150 22222 i所以 .709.647r而由附表查得 ，因为 ，从而有 95%的把握认为 与 之间具有3205.05.rxy线性相关关系.回归系数 .92348.172.19,78.64ab所以 对 的回归直线方程是yx .0.34xy回归系数 0.78 反映出当母亲身高每增加 1cm 时，女儿身高平均增加 0.78cm，可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的
16、部分.9234a当 时， ，这就是说当母亲身高为 161cm 时，女16x 5.16078.092.34y儿的身高大致也接近 161cm.【阶梯训练】基础练习1、长方形的面积一定时，长和宽具有 （ ）A.不确定性关系 B.相关关系 C.函数关系 D.无任何关系2、线性回归方程 必定过 （ ）bxayA. B. C. D.点， 0点0,点， y点yx,3、三点（3，10） 、 （7，20） 、 （11，24）的线性回归方程是A. B.xy15 75.1C. D. xy.4、为了考察两个变量 和 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地作了 100 次和y150 次试验，并且利用线性回归的方法，
17、求得回归直线分别为 和 ，已知两个人在试验1l2中发现对变量 的观测数据的平均值都是 ，对变量 的观测数据的平均值都是 ，那么xmyt下列说法正确的是A. B.),(21tml有 交 点和 ),21 tml （相 交 ， 但 交 点 不 一 定 是和C. D. 必 定 平 行和 21l 必 定 垂 直和 21l能力训练5、下列说法正确的是 （ ）A. 任何两种变量都具有相关关系B. 球的体积与该球的半径具有相关关系C. 农作物的产量与施肥之间是一种确定性关系D. 某商品的生产量与该商品的销售价格之间是一种非确定性关系6、对于回归分析，下列说法错误的是 （ ）A. 在回归分析中，变量间的关系若是
18、非确定性关系，那么因变量不能由自变量惟一确定B. 线性相关系数可以是正的或负的C. 回归分析中，如果 或 ，说明 与 之间完全线性相关12rxyD. 样本相关系数 ),(7、已知 、 之间的数据如下表所示，则 与 之间的线性回归方程过点xy( )108 112 119 128225 235 240 255A.(0,0) B.( ) C.( ) D.( )0,xy,0yx,链接高考8、 （06 山东济宁）设有一个回归方程为 ，变量 增加一个单位时 53（ ）A. 平均增加 3 个单位 B. 平均增加 5 个单位 yyC. 平均减少 5 个单位 D. 平均减少 3 个单位 9、 （06 山东泰安）
19、若回归直线方程中的回归系数 时，则相关系数为0b（ ）A. B. C. D. 无法确定1r1rr10、 （06 广东中山）在一个 列联表中，由其数据计算得 ，则其两个变量2097.132k间有关系的可能性为 （ ）A.99% B.95% C.90% D.无关系11、 （06 山东烟台）线性回归方程 必过 （ ）abxyA.(0,0) B.( ) C.( ) D.( )0,x,0yx,本章总览【知识架构】1、本章主要讨论了如何样本数据对总体进行分析、估计和预测.独立性检验通过 统计2量，运用假设检验的方法，研究了两个“变量”之间是否具有相互独立这一在医学、社会经济、生活、科学技术等方面具有重要意
20、义的问题2、对独立性检验的结果，通常以为这是一个统计量，不要误以为它们之间存在因果关系，可以利用统计量去估计它们的值，但不要绝对化.3、独立性检验的应用十分广泛，它在生物统计、医学统计等学科中的应用十分广泛，在处理社会问题时得到得数据中，也常常用到独立性检验.4、样本相关系数 的计算公式：r)()()()( 222222 ynxnyyyxr iiiiiii 及 的性质：（1） ；1r（2） 越接近于 1， 的线性相关程度越强；yx,（3） 越接近于 0， 的线性相关程度越弱.r5、相关性检验的一般步骤：（1） 作统计假设：假设 与 不具有线性相关关系.xy背景独立性检验 线性回归分析抽取样本提出统计假设运用 检验2抽取样本提出统计假设 运用 检验r作出统计
