1、第 4 课时 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台课时目标1.在初中学习的基础上，学会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台，探索和研究圆柱、圆锥、圆台之间的关系2认识圆柱、圆锥、圆台的截面图形，并学会运用这些图形解决一些简单的问题识记强化1圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以矩形一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边(或它的长度) 叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，
2、无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线2圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴课时作业一、选择题(每个 5 分，共 30 分)1将中的展开图还原后得到的几何体分别是( )A圆柱、圆锥、棱柱B圆柱、圆锥、棱锥C圆台、圆柱、棱锥D圆台、圆锥、棱柱答案：B解析：图中的两个圆分别为圆柱的两个底面，长方形为圆柱的侧面；图中的圆为圆锥的底面，半圆为圆锥的侧面；图显然能还原成棱锥2下列说法：以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转
3、体为圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案：B解析：圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以是错误的；显然是正确的；由圆柱的定义，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以正确，所以答案选B.3一个圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A10 B12C20 D15答案：B解
4、析：圆锥的轴截面是等腰三角形，两腰为圆锥的母线，底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积 S 23 12，故选 B.12 52 324已知一个平放的棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O(重量忽略不计 )，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球与该三棱锥78各侧面均相切(与水面也相切 )，则球的表面积等于( )A. B. 76 43C. D. 23 12答案：C解析：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的 ，18正四面体的各棱长均为 4，正四面体体积为 42 ，13 34 16 163 1623没有水的部分的体积是 ，223设其棱长为 a，则 a
5、2 a ，13 34 63 223a2，设小球的半径为 r，则 4 22r ，13 34 223r ，66球的表面积 S4 .故选 C.16 235如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A30 B45C60 D90答案：C解析：设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，则有 2r 2l.2rl，12即ABC 为等边三角形，故顶角为 60.6若边长为 5 cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面，则从点 E 沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短距离是( )A10 cm B5 cm2C5 cm D. cm2 1522 4答案：D解析：圆柱的侧面展开图如图所示，
6、展开后 EF 2 .12 (52) 52EG (cm)52 (52)2 52 2 4二、填空题(每个 5 分，共 15 分)7用长、宽分别是 3 与 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是_答案： 或32 12解析：当矩形的宽为轴时，32 r，r ；当矩形的长为轴时， 2r，r .32 128圆台轴截面的两条对角线互相垂直，且上下底面半径的比为 34，又其高为14 ，则圆台的母线长是_2答案：20解析：如图所示，由已知有 ，因为 OBOC，所以AOB，DOC 均为等rR 34 O1OOO2腰直角三角形又 O1O214 ，所以 O1Or6 ，OO 2R8 ，在 RtBOC 中，2 2 2O
7、B2OC 2l 2，所以 r2OO R 2OO l 2，代入数据得 l20.21 29一个等边圆柱(底面直径等于高 )的轴截面面积是 S，则它的底面面积是 _答案： S4解析：设底面半径为 r，则 4r2S，故底面面积为 r2 S.S4 4三、解答题10(12 分) 一圆台的母线长为 13，下底面与上底面直径的差为 10，求圆台的高解：如图，O 1，O 2 分别为圆台上、下底面圆的圆心，连接 O1O2 作 ABO 2C 于 B，则有 BC 5，AC13，102所以圆台的高 h 12.AC2 BC2 132 5211(13 分) 一个圆锥的底面半径为 2，高为 6，在其中有一个高为 x 的内接圆
8、柱(1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S；(2)当 x 为何值时，S 最大？解：画出圆柱和圆锥的轴截面如图，设圆柱的底面半径为 r，则由三角形相似可得 ，解得 r2 .x6 2 r2 x3(1)圆柱的轴截面面积S2rx2 x x2 4x，x(0,6)；(2 x3) 23(2)S x24x (x26x) (x3) 2623 23 23当 x3 时，S 有最大值 6.能力提升12(5 分) 如图，一个圆锥的高为 2，母线与轴的夹角为 30，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积解：设圆锥的底面圆直径为 AB，SO 为高，SA 为母线，如图，则ASO 30.在 RtSAO 中， AO SOtan302
9、 ，SA .而 S33 233 SOcos30 232 433ASB SO2AO SOAO2 ，所以圆锥母线长为 ，它的轴截面面积为 .12 233 433 433 43313(15 分) 如图所示圆柱 OO的底面半径为 2 cm，高为 4 cm，P 点为母线 BB 的中点，AOB ，试求一蚂蚁从 A 点沿圆柱表面爬到 P 点的最小路程23解：将圆柱侧面沿母线 AA 剪开展平得到如图所示的平面图则知最短路径为平面图中线段 AP.在 Rt ABP 中，AB 2 ，PB2.23 43AP 2 1629 4 429 1 cm.23 42 9故蚂蚁从 A 点沿圆柱表面爬到 P 点的最小路程为 cm.2342 9
