1、成 绩 评 定 表学生姓名 班级学号专 业 课程设计题目 编辑距离问题分支限界法 0-1背包评语组长签字：成绩日期 20 年 月 日课程设计任务书学 院 专 业学生姓名 班级学号课程设计题目 编辑距离问题 分支限界法 0-1 背包实践教学要求与任务:要求：1巩固和加深对基本算法的理解和运用，提高综合运用课程知识进行算法设计与分析的能力。2培养学生自学参考书籍，查阅手册、和文献资料的能力。3通过实际课程设计，掌握利用动态规划算法、回溯法、分支限界法等算法的基本思想，并能运用这些方法设计算法并编写程序解决实际问题。4了解与课程有关的知识，能正确解释和分析实验结果。任务：按照算法设计方法和原理，设计
2、算法，编写程序并分析结果，完成如下内容：1. 运用动态规划算法求解编辑距离问题。2. 运用分支限界算法求解 0-1 背包问题。工作计划与进度安排:第 11 周：查阅资料。掌握算法设计思想，进行算法设计。第 12 周：算法实现，调试程序并进行结果分析。撰写课程设计报告，验收与答辩。指导教师：201 年 月 日专业负责人：201 年 月 日学院教学副院长：201 年 月 日摘要算法设计与分析，其实可以解释为一类优化问题，一般针对可以利用计算机解决的离散型问题的优化。主要目的就是为了解决某一问题而提出各种不同的解决方案，并且要针对具体的问题做细致的空间和时间复杂度分析。所有的算法中，应该尽量选取“好
3、”的算法，这里所说的“好” ，首先是正确的，其次是所选算法解决问题的效率要尽可能的高。计算机计算时间的长短以及所用空间的大小，跟算法有直接关系，用来衡量算法好坏的两个重要标准就是就是时间和空间复杂度，所以提出好的解决方案，其算法是重中之重。动态规划算法是将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。首先找出最优解的性质，并刻其结构特征，然后递归的定义最优值（写出动态规划方程）并且以自底向上的方式计算出最优值，最后根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。分支限界法类似于回溯法，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标
4、不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。分支限界法的搜索策略是，在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点(分支)，然后再从当前的活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索的进程，在每一个活结点处，计算一个函数值(限界)，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。这种方式称为分支限界法。人们已经用分支限界法解决了大量离散最优化的问题。关键
5、词：动态规划 分支限界法 编辑距离问题 0-1 背包问题目录1.动态规划法解决编辑距离问题 .11.1 问题描述 .11.2 问题分仔 .11.3 算法设计 .21.4 算法实现 .31.5 结果分析 .51.6 复杂度分析 .52.分支限界法解决 0-1 背包问题 .62.1 问题描述 .62.2 问题分析 .62.3 算法设计 .72.4 算法实现 .72.5 结果分析 122.6 复杂度分析 .123.参考文献 131.动态规划法解决编辑距离问题1.1 问题描述设 A 和 B 是 2 个字符串。要用最少的字符操作将 A 转换为字符串 B。这里所说的字符操作包括：（1）删除一个字符；（2）
6、插入一个字符：（3）将一个字符改为另一个字符。将字符串 A 变换为字符串 B 所用的最少字符操作数称为字符串 A 到 B 的编辑距离，记为 d(A,B)。试设计一个有效算法，对任给的 2 个字符串 A 和 B，计算其编辑距离 d（A,B） 。1.2 问题分仔设所给的两个字符串为 A1:m和 B1:n，定义一个二维数组 dpij表示状态，dpij= (A1:i,B1:j)表示字符串 A1:m的子串 A1:i变换到B1:n的子串 B1:j的编辑距离，即子串 A1:i至少要经过多少次操作（插入、删除、修改）可以变为 B1:j。单字符 a,b 间的编辑距离定义为例如，字符串 A:AGTAAGTAGGC
7、 转换为字符串 B:AGTCTGACGC 。操作一：A 串：A G T A A G T * A G G CB 串：A G T * C * T G A C G C需要 5 步操作（2 次删除，2 次修改，1 次删除）操作二：A 串：A G T A A G T A G G CB 串：A G T C T G * A C G C需要 4 次操作（3 次修改，1 次删除）我们计算的编辑距离是变换的最小步数，所以要取其中的最小值。考察从字符串 A1:i到字符串 B1:j的转换，有三种情况可以导致上面设计的状态发生转移：bad,10,（1）可以删除字符 Ai需要 1 次操作。只将字符 Ai从 A 串中删除，
8、对序列B1:j没有任何影响，此时问题的最优子结构形式为将 A1:i-1 变为 B1:j ，再加一步删除操作，可得 dpij = dpi-1j + 1。（2）可以在 Ai后面插入一个字符 ch（ch=Bj）需要 1 次操作。在进行插入操作时，串 A1:i 无任何变化，在 A 串 i+1位置上插入字符 Bj,问题的最优子结构形式为将 A1:i变为 B1:j-1,再加一步插入操作，可得 dpij = dpi j-1 + 1。（3）可以修改字符 Ai，使它变为 Bj，若 Ai=Bj，修改其实相当于用了 0 步；若 Ai != Bj，修改相当于用了 1 步。所以 dpij = dpi - 1j - 1
9、+ （Ai = Bj ? 0：1） 。最后的 dpij就是选择上述 3 种状态转移中的最小值。综上所述，状态转移方程 dpij可归结为如下情况：(1)当两个字符相同，即 Ai=Bj时，dpij = mindpij-1+1, dpi-1j+1, dpi-1j-1(2)当两个字符不同，即 Ai != Bj时，dpij = mindpij-1+1, dpi-1j+1, dpi-1j-1+1需要注意的是，要对 dp00:m，dp0:n0进行初始化。*dp0i,就是说 A 串是一个空串，而 B 串是个长度为 i 的串，很显然 A 串变为 B 串就是插入 i 个字符，即 dp0i=i。*dpi0 ，就是说
10、 A 串是个长度为 i 的串，而 B 串是一个空串，很显然 A 串变为 B 串就是删除 i 个字符，即 dpi0=i。1.3 算法设计数据输入：输入数据的第一行是一个正整数，表示一共有几组数据。每组数据两行，每行一个字符串。*每个字符串长度不超过 1000结果输出：输出编辑距离。对于每组数据，请输出一个整数表示两个字符串的编辑距离。每个答案占一行。1.4 算法实现#include #include #include #define min(a,b) (a)(b)?(b):(a) #define N 1005 using namespace std; int dpNN; /dpij表示串 s1
11、的前 i 位变换到串 s2 的前 j 位的最小步数int DP(char *s1,char *s2) int i,j,m=strlen(s1),n=strlen(s2),tem;/初始化for(i=0;i0,Wi0,Vi0，1 i n，要求找出一个 n 元 0-1向量（x1 ，x2，xn） ，Xi 0,1,1 i n，使得 ，而且 达到最大。n1iXWc1iXV因此 0-1 背包问题是一个特殊的整数规划问题：2.2 问题分析0-1 背包问题是一类典型的离散型优化问题，问题的约束条件和要求都很简单。求解方案也比较多，本论文就几种典型的求解方案做简单的分析，但是主要实现的是利用分支限界法解决的方案
12、。下面是几种典型算法的简单分析：分支限界法：分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展iixvmanixCwini1,0过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支限界法： 队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（ FIFO）原
13、则选取下一个节点为扩展节点。 优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。 最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先 最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先 2.3 算法设计分支限界法的分析：已知有 N 个物品和一个可以容纳 M 重量的背包，每种物品 I 的重量为 WEIGHT，一个只能全放入或者不放入，求解如何放入物品，可以使背包里的物品的总效益最大。对物品的选取与否构成一棵解树，左子树表示不装入，右表示装入，通过检索问题的解树得出最优解，并用结点上界杀死不符合要求的结点。分支限界法的描述：首先，要对输入数据进行预处理，将各物品依其单位重量价值
14、从大到小进行排列。在下面描述的优先队列分支限界法中，节点的优先级由已装袋的物品价值加上剩下的最大单位重量价值的物品装满剩余容量的价值和。算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。当扩展到叶节点时为问题的最优值。2.4 算法实现#include #include #include #define MaxSize 100 /初始化队列长度为100typedef struct QNodefloat weight;float val
15、ue;int ceng;struct QNode *parent;bool leftChild;QNode,*qnode; /定义队列类型typedef structqnode QMaxSize;int front,rear;SqQueue; /定义队列SqQueue sq;float bestv=0; /最优解int n=0; /实际物品数float wMaxSize; /物品的重量float vMaxSize; /物品的价值int bestxMaxSize; / 存放最优解qnode bestE;void InitQueue(SqQueue sq.rear=1;bool QueueEmpt
16、y(SqQueue sq) /队列判空if(sq.front=sq.rear)return true;elsereturn false;void EnQueue(SqQueue b-value=vt;b-ceng=i;b-parent=parent;b-leftChild=leftchild;EnQueue(sq,b);void maxLoading(float w,float v,int c)float wt=0;float vt=0;int i=1; /当前的扩展结点所在的层float ew=0; /扩展节点所相应的当前载重量float ev=0; /扩展结点所相应的价值qnode e=N
17、ULL;qnode t=NULL;InitQueue(sq);EnQueue(sq,t); /空标志进队列while (!QueueEmpty(sq)wt=ew+wi;vt=ev+vi;if (wt bestv)bestv=vt;EnQueue1(wt,vt,i,e,true); / 左儿子结点进队列EnQueue1(ew,ev,i,e,false); /右儿子总是可行；e=DeQueue(sq); / 取下一扩展结点if (e = NULL)if (QueueEmpty(sq) break;EnQueue(sq,NULL); / 同层结点尾部标志e=DeQueue(sq); / 取下一扩展结
18、点i+;ew=e-weight; /更新当前扩展结点的值ev=e-value;cout0;j-) /构造最优解bestxj=(bestE-leftChild?1:0);bestE=bestE-parent;for(int k=1;kn;coutc;coutewviwi;vi=ewvi;coutendl;maxLoading(w, v, c);2.5 结果分析2.6 复杂度分析时间复杂度是O(2 n);3.参考文献1 王晓东.算法设计与分析（第 4 版）. 北京：清华大学出版社，20122 孟爱国.C 语言程序设计. 上海：复旦大学出版社,2010.023 严蔚敏，吴伟民. 数据结构(C 语言版). 北京：清华大学出版社，20074 陈嫒.数据结构学习指导 实验指导 课程设计 .北京：机械工业出版社，2008.01
