1、12019 届江苏省扬州市高三第一学期期中调研数学（文）试题高三数学( 文)201811一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ）1已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 ，则复数 z 12i2函数 的定义域为 42xy3已知 x，y R，直线 与直线 垂直，则实数 a 的值为 (1)0ay20xay4已知函数 为偶函数，且 x0 时， ，则 ()f 32()f(1)f5已知向量 (1，a)， ( ， )，若 ，则实数 a mn431amn6设ABC 的三个内角 A，B ，C 的对边分别是 a，b， c，若 ， ，cosB26b，那么角
2、 A 的大小为 127设实数 x，y 满足 ，则 的最大值为 012y32xy8在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 上横坐标为 1 的点到焦点的距离2(0)p为 4，则该抛物线的准线方程为 9已知条件 p：xa，条件 q： 若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值102x范围是 10在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 的一个焦点为(3，0)，则双曲线21xym的渐近线方程为 11若函数(A0， 0，()Asin()fxx2)的部分图像如图所示，则函数 在 ， 0上的单调增区间为 02()fx12在ABC 中，AH 是边 BC 上的高，点 G 是ABC 的重心，若ABC 的
3、面积为，AC ，tanC2，则 615(AHBC)()13已知正实数 a，b 满足 ，则 的最小值是 3b221ab14已知函数 ， （e 为自然对数的底数，2()fxx()ln5gxe2.718） 对于任意的 (0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的 ， ，使得01x2 ，则整数 a 的取值集合是 1()gx2(fx二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）15 （本小题满分 14 分）在ABC 中，已知 ，设BAC 3ABC（1）求 tan 的值；（2）若 ， (0， )，求 cos( )的值cos5216
4、（本小题满分 14 分）已知 ，函数 aR1()fxa（1）若 对 (0， 2)恒成立，求实数 a 的取值范围；()2f（2）当 a1 时，解不等式 ()2fx317 （本小题满分 15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 与圆 O： 相310xy22(0)xyr切（1）直线 l 过点(2，1)且截圆 O 所得的弦长为 ，求直线 l 的方程；26（2）已知直线 y3 与圆 O 交于 A，B 两点，P 是圆上异于 A，B 的任意一点，且直线 AP，BP 与 y 轴相交于 M，N 点判断点 M、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由18 （本小题满分 15 分）江苏
5、省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西 45方向上，到中心广场的距离分别为 km， km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距2离为 km规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到10柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)） 已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为 2设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中COF 为（ (0， )） ，铺设三段鹅卵石路的总费用为 y（万元） 4（1）求南京园到柏油路的最短距离 关于 的表达式；1d（2）求 y 的最小值及此时 tan 的值4（1） （2）19 （本小题满分 1
6、6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 的右准线方程为 x2，21(0)xyab且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形（1）求椭圆 C 的方程；（2）假设直线 l： 与椭圆 C 交于 A，B 两点若 A 为椭圆的上顶点，ykxmM 为线段 AB 中点，连接 OM 并延长交椭圆 C 于 N，并且 ，求 OB 的长；6OM2若原点 O 到直线 l 的距离为 1，并且 ，当 时，求OAB 的面积B45S 的范围20 （本小题满分 16 分）已知函数 ， ln()xf2()gx（1）求 在点 P(1， )处的切线方程；f1f（2）若关于 x 的不等式 有且仅有三个整数解，求实数 t 的取
7、值范围；2(0xtf（3）若 存在两个正实数 ， 满足 ，()4()hgf1x2211()0hxx求证： 12x5参考答案1 3i 2 (, 3 12 4 51 6 4 73 8x9 a 10 5yx11 (3,0)(区间开闭皆可 ) 121 13 5 143,456715解：（1）由 3ABCA，得 cosBACBAC，所以 cos，又因为 0，所以 221sin1()3 tan2 6 分（2） 3cos5， (0,)2 4sin5 8 分由（1）知： in， 3142346cos()cossin51514 分16解：（1） ()2fx对 (0,)恒成立 2ax对 (0,)恒成立 2x，当且
8、仅当 1x，即 时取等号 a 6 分 （2）当 1时， 1()|fx， ()2fx 12|x （*） 若 0x，则（*）可化为： 20，所以 ； 9 分若 ，则（*）可化为： ，解得： 或 ， 0x 612x 12 分由可得，（*）的解集为 1(,2 14 分17解：直线 310xy与圆 2:(0)Oxyr相切圆心 O到直线 的距离为 |19 2分（1）记圆心到直线 l的距离为 d，所以 1062当直线 l与 x轴垂直时，直线 l的方程为 x，满足题意； 3 分当直线 l与 x轴不垂直时，设直线 l的方程为 1(2)ykx，即 (12)0kxyk所以 2|1|kd，解得 34k，此时直线 l的
9、方程为 340 6 分综上，直线 l的方程为 x或 10y 7 分 （2）设 0(,)Pxy直线 与圆 交于 、 两点，不妨取 (1,3),AB，3yOAB直线 A、 B的方程分别为 0(1)yx， 03yx令 0x，得 00(,),()1xyxMN，则（*）13 分 200039MNyx因为点 0(,)Py在圆 C上，所以 201xy，即 2200yx，代入（*）式得 MN2209(1)x为定值 15 分18解：（1） OF，南京园在中心广场的南偏西 45方向上，且到中心广场的距离为 2km 4AE 12sin()4d 4 分（2）分别设点 到直线 EF的距离为 由（1）知：,BC23,d2
10、3sin(),10sin4dd7 2221cos(2)1cos2(sin)(sin)(10sin) 44y 01ico01i， (,4 9 分 当 2时， min201y（万元） (,)432(,)412 分此时 2 2tant1，解得： tan1 14 分答：铺设三条鹅卵石路的总费用为( 02)万元，此时 ta的值为 1521分19解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以 2ac，又由右准线方程为 2x，得到2ac，解得 ,1ac，所以 21b 所以，椭圆 C的方程为 xy 4 分（2）设 1(,)Bxy，而 (0,1)A，则 1(,)2M， 62ON， 116(,
11、4xyN因为点 ,都在椭圆上，所以21213()68xy，将下式两边同时乘以 83再减去上式，解得 13y，8 分 219x所以 9 分221617()93OBxy（3）由原点 到直线 l的距离为 ，得 2|1mk，化简得： 21km 联立直线 l的方程与椭圆 C的方程： ，得 22()40x21yx设 12(,)(,)AxyB，则212124,kmxxk，且 11 分 280k82 212121211()()()OABxyxkmxkxmx 22 244()m kk2231k，所以 kOAB的面积 22212111|()42SABkxkxx228()()()k 14 分因为 2(1)S在 45
12、,6为单调减函数，并且当 5时， 2S，当 时， 106S，所以 OAB 的面积 的范围为 16 分 102,6520解：（1） ln()xf， ()f，所以 P点坐标为 (1,0)； 又 2l()fx， 1f，则切线方程为 yx，所以函数 f在点 (,)Pf处的切线方程为 10 3 分（2） 2ln()0xx(,)ee(,)e()f正 0 负x单调增 极大值 单调减由 2()0fxtf， 得 ()0fxt； t时， ()fx或 ft，满足条件的整数解有无数个，舍； 0t时， 0f，得 x且 1，满足条件的整数解有无数个，舍； t时， ()fx或 ()ft，当 ()0fx时，无整数解；9当 (
13、)fxt时，不等式有且仅有三个整数解，又 ln3()f， ln2(2)4f，ln5f因为 ()fx在 0,e递增，在 (,)e递减；所以 (5)(4)ftf， 即 ln5l2t，即 ln2l5t；所以实数 t的取值范围为 ln2l5t 8 分 （3） 2()4lhxx，因为 211()0，所以 2 221ln4ln0x，即 11211()()xx，令 2t， l(0)ttt， 11 分 则 ()4()tt，当 0,1t时， 0，所以函数 2()4ln(0)ttt在 (,1上单调递减；当 ()时， ()t，所以函数 在 )上单调递增所以函数 24ln()tt在 1t时，取得最小值，最小值为 314 分 因为存在两个正实数 12,x，满足 21()0hxx，所以2112()()3xx，即 0 ，所以 123 或 12 因为 12,为正实数，所以 12x 16 分
