1、集 合 学 习 的 八 项 注 意集合是中学数学中的最基本的概念之一，然而由于其知识新、符号多、信息量大，初学者往往顾此失彼本文总结了集合学习中的八项注意，希望能够帮助同学们进一步理解集合的概念，从本质上把握集合的内涵，少走弯路、提高学习效率1注意集合的“三性”集合的“三性”指的是：确定性、互异性、无序性，它们是集合的最基本特征要注意弄清它们的含义，才能在解题时正确运用例 1 以方程 和方程 的解为元素构成集合 ，则 中2560x20xM元素的个数为（ ）A1 B2 C3 D4解析：对于涉及集合元素的问题，首先应想到其确定性、互异性、无序性由集合元素的互异性可知，两个相同的对象中能算作集合中的
2、一个元素方程 的解2560x为 ；方程 的解为 ，所以 ，故选123x， 20x12x， 13M， ，（） 例 2 已知集合 A=a，a+b，a+2b，B=a，ac，ac 2，若 A=B，求实数 c 的值分析：集合 A=B，说明 A，B 中元素相同但顺序可以不同，因此要分两种情况讨论解：（1）若 a=0 或 c=1,022acacb当 a=0 时，集合 B 中三元素都是 0，舍去；当 c=1 时，集合 B 中三元素也都相同，舍去（2）若 2acacba0，2c2-c-1=0，(c-1)(2c-1)=0又c1，c= 经检验，符合题意21综上，c= 2注意 0，0，的关系数 0 是元素，0是含一个
3、元素 0 的集合， 是不含任何元素的集合，是以 作为元素的集合要注意它们的区别与联系例 3 下列关系错误的是（ ）A B 00 C 0 D 0 解：A、B、D 均正确，C 是错误的3注意空集的特殊性空集是不含有任何元素的集合，它是一种非常特殊的集合我们要注意“空集是任何集合的子集”这一重要结论的运用例 4 设集合 A=x|-2x5，B=x|m+1x2m-1，若 B A，求实数 m 的取值范围误解：依题意，B A， 即 512m33剖析：以上解法忽视了 B= 的情形，此时 m+12m-1，m2，也符合 B A因此所求实数 m 的范围应为 m2 或 2m3，即 m3例 5 已知 A=x|x2-3x
4、+2=0，B=x|ax-2=0，并且 AB=A，求实数 a 组成的集合 C分析：因为 AB=A ，可据此求 a 的值，但要注意 B= 的情形AB解：（1）当 a=0 时，B= 符合题意；（2）当 a0 时，B= ，而 A=1，2，a2AB=A =1 或 =2 ，a=2 或 a=1a2综上，C=0，1，2 4注意符号“”与“ ”的区别符号“”用在元素和集合间表示从属关系；符号“ ”用在两集合间表示包含关系特别需要指出的是， “a，bA”与“a，b ”之间既有区别又有联系A例 6 设 M=xR|x ，a=3，则下列关系正确的是（ ）10A aM B a M C aM D a M解：a 是元素，a与
5、 M 是集合，由于 3 ，故选（D） 10例 7（1）若 a，b3，4，5，则函数 f(x)=ax2+bx 有多少条不同的对称轴？（2）若a，b 3，4，5，则函数 f(x)=ax2+bx 有多少条不同的对称轴？分析：二次函数图象的对称轴为 x=- ，故只要研究有多少个不同的 的值即可，ab2 ab但要注意两小题的区别第（1）小题中 a，b3，4，5，当 a，b 不同时有 6 个不同的的值，当 a，b 相同时 =1，因此共有 7 条不同的对称轴；第（2）小题中a，babab3，4，5，说明 a，b 只能不相等，因此只有 6 条不同的对称轴5注意数集与点集的区别容易出现两方面的错误一是书写上的错
6、误，如把点集（2，3）误写为2，3或x=2，y=3等；二是理解上的错误，如把数集y|y=x 2+1，xR误为（x，y）|y=x2+1，xR或x|y=x 2+1，xR等例 8（1）已知 A=(x，y)|y=x 2-1，xR，B=(x，y)|y=7-x 2，xR， 则AB= _；（2）已知 A=y|y=x2-1，xR，B=y|y=7-x 2，xR ， 则 AB= _分析：解方程组 得， 或 ，曲线 y=x2-1 和 y=7-x2 的两交271y3y点为（-2，3）和（2，3） ，第（ 1）题中 A、B 为点集，AB= （-2 ，3） ， （2，3）而第（2）题如果理解为 AB=3那就错了，因为 A
7、、B 都表示数集，它们分别表示函数 y=x2-1，xR 和 y=7-x2，xR 的值域，从整体上把握，应该有 A=y|y-1 ，B=y|y 7，因此 AB=y|-1 y76注意求补集的前提全集在求补集时，不能忽略全集，因为同一集合在不同全集中补集是不相同的例 9 全集 U 是函数 的定义域，A=x|x10，求 CUA 7xy误解：C UA=x|x10剖析：误解将全集默认为实数集 R，显然不对其实 U=x|x7，故CUA=x|7x10注意选取集合的表示法当集合为有限集时，一般用列举法当集合为无限集时，一般不采用列举法，因为不能将其一一列出，这时宜用描述法对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法
8、，这时应择优选用例 10 已知集合 ，求集合 6|1CxZNC解析：对于本题集合 中元素应是 ，而不是 ，满足的条件是 且x61xZxN， ，又 ， 1x 6xZ1236， ， ，即 6321， ， ， 32C， ， ，8注意用好容斥原理和 Venn 图与集合元素有关的计数问题牵涉因素较多，看上去错综复杂若能利用容斥原理和韦恩图，则可使问题具体化而顺利解决例 11 高一（1）班有 45 人其中有 30 人订阅了起跑线这种杂志，有 25 人订阅了数学专页这种报纸问这个班至少有多少人这种杂志和这种报纸全订阅了？分析：集合 A 中元素的个数常记作 card(A)本题中设高一（1）班全体同学组成全集U
9、，订阅了起跑线杂志的人组成集合 A，订阅了数学专页的人组成集合 B这样杂志和报纸都订阅的人就组成了 AB可借助容斥原理和韦恩图来解题解：依题意，card(A)=30，card(B)=25，而 card(U)=45，card(AB)30+25-45=10即至少有 10 人杂志和报纸都订阅了注：本题中 card(U)=45，card(AB)45根据容斥原理 card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)和韦恩图可得， 至少有 10 人杂志和报纸都订阅了注：容斥原理 card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)和韦恩图是解决“至多” 、“至少”问题的有力工具
10、UA B莫畏集合多变换，抓住元素是关键集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素，特别是用描述法表示的集合，这一点尤为重要.因此大家在学习过程中要注意养成先看元素再定集合的习惯.本文就探讨一下元素在解答集合问题中的重要性.一、集合的辨别例 1 已知 ， ，则 .1|xyA1|xyBBA解析：集合 中的元素为 ，由 易知 ， ；00|x集合 的元素是 ，由 得 ， .By0x1y1|y .|xxA评注：虽然集合 、 元素的一般符号不同，但它们的本质是相同的，即都是数集，AB所以它们之间可进行运算，集合 元素的一般符号用 或 都可以.xy例 2 已知集合 A=圆，集合 B=直线 ，则 的元素
11、个数是 .BA已知集合 ，集合 ，则 的元素个数是 .是 圆 上 的 点P|是 直 线 上 的 点P|BA解析：中的两个集合都是图形的集合，它们的元素一个是圆，一个是直线，二者没有公共元素，所以交集应为空集，答案为 0；中的两个集合都是点集，它们的元素都是点，故 是直线和圆的交点组成的集合，根据直线和圆相离、相切和相交的位置关系，BA答案应为 0 或 1 或 2.评注：、中的集合十分类似，但分析元素后，二者却大相径庭.例 3 设集合 ，则 、 之间的关系为（ ）|,3|ACBxBA B C DAA解析：集合 是数集，集合 元素的一般符号是集合，所以它是集合的集合，是集合所有子集组成的集合，其中
12、包括集合 ，所以 、 之间的关系为 .选 A评注：1、对于有些集合（如集合 ）要认清它，只看元素是不够的，还要看竖线后面元素的共同特征，方可确定；2、元素和集合的关系是相对的，集合也可作为元素.二、集合关系的证明例 2 已知全集为 ，求证( ) ( ) .IAIBI)(AI分析：根据集合相等的定义，要证明( ) ( ) ，只需证明(II)BI) ( ) 且 ( ) ( )，再根据子集定义通过元AIBI)(AI)(BIAIBI素证明.证明：设 ( ) ( )，则 或 ，则 ，即xIIxIxIx且，所以 ，因此( ) ( ) ；BAxBAIAIBI)(AI又设 ，则 ，则 ，则 或 ，所以 ()(Ixx且 IxBIx) ( )，因此 ( ) ( ).II )(III评注：1、证明集合之间的关系往往通过论证元素和集合的关系实现；2、还有一个和本题结论类似的结论( ) ( ) ，这两个结论合称“德摩根法则” ，通AIBI)(AI过这个法则，我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交集的补集问题，这样处理可简化运算，同学们可在相应问题中尝试使用.高考试| 题%库
