1、3.1.2 两角和与差的正弦 学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式 .2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)asin xbcos x 的性质知识链接1cos() 与 cos cos 相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候例如，当 60，60时，cos(6060)cos 60cos(60)2你能结合三角函数诱导公式，由公式 C 或 C 推导出公式 S 吗？答 sin() cos 2 cos cos cos sin sin (2 ) (2 ) (2 )sin cos cos sin
2、 .预习导引1两角和与差的余弦公式C ：cos( )cos_cos_ sin_sin _.C ：cos( )cos_cos_ sin_sin _.2两角和与差的正弦公式S ：sin( )sin_cos_cos_sin_ .S ：sin( )sin_cos_cos_sin_ .3辅助角公式使 asin xbcos x sin(x) cos(x)成立时，cos ，sin a2 b2 a2 b2aa2 b2，sin ，cos ，其中 、 称为辅助角，它的终边所在象限由ba2 b2 aa2 b2 ba2 b2点(a，b) 决定.要点一 利用和(差)角公式化简例 1 化简下列各式：(1)sin 2sin
3、 cos ；(x 3) (x 3) 3 (23 x)(2) 2cos( )sin2 sin 解 (1)原式sin xcos cos x sin 2sin xcos 2cos xsin cos cos x sin sin x3 3 3 3 3 23 3 23 sin x cos xsin x cos x cos x sin x12 32 3 32 32 sin x cos x(12 1 32) ( 32 3 32)0.(2)原式sin 2cos sin sin sin cos cos sin sin sin sin .sin sin 规律方法 化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值
4、(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少(3)使三角函数式的次数尽可能低(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式跟踪演练 1 化简：(tan 10 ) .3cos 10sin 50解 原式(tan 10 tan 60)cos 10sin 50 (sin 10cos 10 sin 60cos 60)cos 10sin 50 sin 10cos 60 cos 10sin 60cos 10cos 60 cos 10sin 50 sin 50cos 10cos 60cos 10sin 50 2.1cos 60要点二 利用和(差)角公式求值例 2 若 sin ，cos ，且 00，( 2，2) 1
5、010所以 0 .2所以 sin ，1 cos2 255cos( ) .1 sin2 31010cos(2 )cos( )cos cos()sin sin() .55 31010 255 1010 210(2)cos cos ()cos cos()sin sin() ，55 31010 255 1010 22又因为 ，所以 .(0，2) 4例 4 化简下列各式：(1)3 sin x3 cos x；15 5(2) sin cos .24 (4 x) 64 (4 x)解 (1)3 sin x3 cos x15 56 5(32sin x 12cos x)6 6 sin .5(cos6sin x si
6、n6cos x) 5 (x 6)(2) sin cos24 (4 x) 64 (4 x)2212sin(4 x) 32cos(4 x)22sin(4 x)cos3 cos(4 x)sin3 sin sin .22 (712 x) 22 (x 712)规律方法 辅助角公式 asin xbcos x sin(x) 可以把含 sin x、cos x 的一次式化a2 b2为 Asin(x )的形式，其中 所在象限由点( a，b)决定，大小由 tan 确定研究形如baf(x)asin xbcos x 的性质都要用到该公式跟踪演练 4 已知函数 f(x) cos 2xsin 2x，xR .3(1)求 f(
7、x)的最小正周期与值域；(2)求 f(x)的单调递增区间解 (1)f(x) sin 2x cos 2x32 (12sin 2x 32cos 2x)2 2sin ，xR .(sin 2xcos3 cos 2xsin3) (2x 3)T ，函数的值域为2,2 22(2)由 2k 2x 2k ，kZ，2 3 32得 k xk ，k Z.512 1112函数的单调递增区间为k ，k (kZ).512 11121sin 7cos 37sin 83cos 53的值是( )A B.12 12C. D32 32答案 A解析 原式sin 7cos 37 cos 7sin 37sin(30) .122在ABC 中
8、 ，A ，cos B ，则 sin C 等于( )4 1010A. B255 255C. D55 55答案 A解析 sin C sin (AB)sin(AB)sin Acos B cos Asin B (cos B )22 1 cos2B 22 ( 1010 31010) .2553函数 f(x)sin x cos x(xR )的值域是_3答案 2,2解析 f(x) 2 2sin ，(12sin x 32cos x) (x 3)f(x)2,24试用一个角的正弦(或余弦 )形式表示下列各式：(1)sin cos ；(2) sin cos ；3(3) cos 15 sin 15；(4)3sin 4
9、cos .12 32解 (1)sin cos ( sin cos )222 22 (sin cos cos sin )24 4 sin( )24(2) sin cos 32( sin cos )32 122(sin cos cos sin )6 62sin( )6(3)方法一 原式sin 30cos 15cos 30sin 15sin(30 15)sin 45 .22方法二 原式cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45 .22(4)3sin 4cos 5( sin cos )35 455sin()(或5cos()其中 cos ，sin (或 sin ，co
10、s )35 45 35 451.公式 C与 S的联系、结构特征和符号规律四个公式 C、 S虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos( ) cos()Error!sin() sin()，这样我们只要牢固掌握“中心” 以 换 以 换 公式 cos()的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式对于公式 C 与 C ，可记为 “同名相乘，符号反” 对于公式 S 与 S ，可记为“异名相乘，符号同” 2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简 sin cos()cos sin( )时，不要将 cos()和 sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()
11、 cos sin()sin( )sin() sin .3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解一、基础达标1函数 f(x)sin(2x )cos(2x )的最小正周期和最大值分别为 ( )6 3A， 1 B， 2C2，1 D2， 2答案 A解析 f(x) sin 2xcos cos 2xsin cos 2xcos sin 2xsin cos 2x，最小正周期 T6 6 3 3 ， f(x)max1.222已知 0 ，又 sin ，cos( ) ，则 sin 等于( )2 35 45A0 B0 或2425C.
12、D0 或2425 2425答案 C解析 0 ，sin ，cos( ) ，cos ，sin() 或 .2 35 45 45 35 35sin sin() sin( )cos cos( )sin 或 0.2425 ，sin .2 24253已知 cos cos sin sin 0，那么 sin cos cos sin 的值为( )A1 B0 C1 D1答案 D解析 cos cos sin sin cos( ) 0. k ，kZ，2sin cos cos sin sin( )1.4若函数 f(x)(1 tan x)cos x,0x ，则 f(x)的最大值为( )32A1 B2C1 D 23 3答案
13、B解析 f(x) (1 tan x)cos xcos x sin x3 32( cos x sin x)2sin(x )，12 32 60x ， x .f(x) max2.2 6 6235在三角形 ABC 中，三内角分别是 A、B、C，若 sin C2cos Asin B，则三角形 ABC 一定是( )A直角三角形 B正三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案 C解析 sin C sin(AB)sin Acos Bcos Asin B2cos A sin B，sin Acos B cos Asin B0.即 sin(AB )0，AB.6化简 sin cos 的结果是_(6 ) (3 )答案 c
14、os 解析 原式sin cos cos sin cos cos sin sin cos .6 6 3 37化简求值：(1)sin( 3x)cos( 3x)sin( 3x)sin( 3x)；4 3 4 3(2)sin()cos cos( )sin ；(3) .sin 27 cos 45sin 18cos 27 sin 45sin 18解 (1)原式cos ( 3x )cos( 3x)sin( 3x )sin( 3x)2 4 3 4 3cos( 3x)cos( 3x)sin( 3x)sin( 3x)4 3 4 3cos( 3x)( 3x )cos( )4 3 4 3cos cos sin sin 4 3 4 3 22 12 22 32 .2 64
