1、3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 学习目标 1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程 .2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明知识链接1代数式变换与三角变换有什么不同？答 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点2倍角公式(1)S2：sin 2 2sin_cos_.(2)C2： cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2.(
2、3)T2：tan 2 .2tan 1 tan2预习导引1半角公式(1)S ：sin ；2 2 1 cos 2(2)C ：cos ；2 2 1 cos 2(3)T ：tan (无理形式)2 2 1 cos 1 cos (有理形式)sin 1 cos 1 cos sin 2半角公式变形(1)sin2 ；(2)cos 2 ；2 1 cos 2 2 1 cos 2(3)tan2 .2 1 cos 1 cos 要点一 三角函数的求值例 1 已知 sin 且 ，即 sin sin( )，1213450，22 2原式cos .规律方法 (1)式子中含有 1cos ，1cos 等形式时，常需要用半角公式升幂(
3、2)在开方时要注意讨论角的范围跟踪演练 2 化简： .2cos2 12tan(4 )sin2(4 )解 由 tan (4 )sin(4 )cos(4 ) ，sin2 (4 )cos2 (4 )cos(4 )sin(4 )则原式cos 22cos(4 )sin(4 )sin2(4 ) 1.cos 2cos 21设 56，cos a，那么 sin 等于( )2 4A B 1 a2 1 a2C D1 a2 1 a2答案 B解析 由 cos 12sin 2 得 sin2 ，2 4 4 1 cos22又 5 6， .sin 0.sin .54 4 32 4 4 1 a22已知 cos ，且 270 36
4、0，则 cos 的值为( )79 2A. B C D23 223 233 23答案 B解析 cos 2cos 2 1， cos 2 ， 1 cos 2270 360135 180 ，cos 0，2 2cos .2 1 cos 2 1 792 2233已知 sin ，且 为第三象限的角，则 tan 等于( )2425 2A B C. D.43 34 43 34答案 A解析 由 sin ，且 为第三象限的角，2425得 cos .所以 tan .725 2 sin 1 cos 24251 725 434若 cos 22a，则 sin 11_，cos 11_.答案 1 a2 1 a2解析 cos 2
5、2 2cos 2 11112sin 211，cos 11 ，1 cos 222 1 a2sin 11 .1 cos 222 1 a21.半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出角 的具体范围时，则根号前的符号由角 所在象限确定；2(3)若给出的角 是某一象限的角时，则根据角所在象限确定符号2半角公式的三个变式(1)sin2 ；2 1 cos 2(2)cos2 ；2 1 cos 2(3)tan2 ，在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到2 1 cos 1 cos 一、基础达标1cos 2 的值为 ( )8 12A1 B. C. D.
6、12 22 24答案 D解析 cos 2 cos8 12 12(2cos28 1) 12 4 .12 22 242下列各式与 tan 相等的是 ( )A. B.1 cos 21 cos 2 sin 1 cos C. D.sin 1 cos 2 1 cos 2sin 2答案 D解析 tan .1 cos 2sin 2 2sin22sin cos 3已知 180 270，且 sin(270) ，则 tan 的值为 ( )45 2A3 B2 C2 D3答案 D解析 sin(270 ) ，cos .45 45又 180 270，90 135.2tan 3.2 1 cos 1 cos 1 ( 45)1
7、( 45)4已知 tan 3，则 cos 为( )2A. B C. D45 45 415 35答案 B解析 cos .1 tan221 tan22 1 321 32 455化简 _.1 cos3 2 (320，故原式sin .2 26函数 y2cos 2xsin 2x 的最小值是 _答案 1 2解析 y2cos 2xsin 2x 1cos 2xsin 2x sin 1，2 (2x 4)y min 1.27已知 0 ，且 ，求 sin cos 的值1 cos 2cot2 tan2 310解 1 cos 2cot2 tan2 2cos2cos2sin2sin2cos22cos2sin2cos2co
8、s22 sin22 cos2 sin cos sin cos .310又 0，可知 sin 0， cos 0.sin cos sin cos 2 1 2sin cos .1 35 2105二、能力提升8已知 cos ，且 2，则 tan 等于( )45 32 2A B. C 或 D313 13 13 13答案 A解析 2， .32 34 2cos ，2 1 cos 2 910 31010sin ，2 1 cos 2 110 1010tan .故选 A.2sin2cos2 139已知 为锐角，且 sin sin 32，则 tan 的值为( )2 2A. B. C. D.74 53 73 54答案
9、 C解析 2cos ，sin sin22sin2cos2sin2 2 32cos ， 为锐角，2 34sin ，2 1 916 74tan .2sin2cos2 7310已知 tan()2，则 的值是 _sin 2sin2 sin cos cos2答案 45解析 tan()tan 2，tan 2，原式 2sin cos sin2 sin cos cos2 2tan tan2 tan 1 .2 2 22 2 1 4511已知 tan 2，求2(1)tan 的值；(2) 的值( 4) 6sin cos 3sin 2cos 解 (1)tan 2，2tan ；2tan21 tan22 221 4 43
10、tan ( 4)tan tan41 tan tan4 tan 11 tan . 43 11 43 17(2)由(1)，tan ，43得 6sin cos 3sin 2cos 6tan 13tan 2 .6( 43) 13( 43) 2 7612已知 cos( ) ，sin( ) ，且 ( ，)，(0 ， )2 277 2 12 2 2求：(1)cos ； 2(2)tan()解 (1) ，0 ，2 2 ， ，4 2 42 2sin( ) ，2 1 cos2 2 217cos( ) ，2 1 sin22 32cos cos( )( ) 2 2 2cos( )cos( )sin( )sin( )2 2 2 2 .277 32 217 12 2114(2) ，4 2 34sin ， 2 1 cos2 2 5714tan ， 2sin 2cos 2 533tan() .2tan 21 tan2 2 5311三、探究与创新13已知函数 f(x)cos xsin( x ) cos2x ，xR .3 3 34(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在闭区间 ， 上的最大值和最小值4 4解 (1)由已知，得f(x)cos x( sin x cos x) cos2x12 32 3 34 sin xcos x cos2x12 32 34
