1、第二章 2.4 第 1 课时一、选择题1在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线 x2y3 的距离相等的点的轨迹是( )A直线 B抛物线C圆 D双曲线答案 A解析 点(1,1)在直线 x2y3 上，故所求点的轨迹是过点(1,1) 且与直线 x2y3垂直的直线2过点 F(0,3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为 ( )Ay 212x By 212xCx 2 12y Dx 212y答案 C解析 由题意，知动圆圆心到点 F(0,3)的距离等于到定直线 y3 的距离，故动圆圆心的轨迹是以 F 为焦点，直线 y3 为准线的抛物线3抛物线 x24y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物
2、线焦点的距离为( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 解法一：y 4， x24 y16，x4，A(4,4) ，焦点坐标为(0,1) ，所求距离为 5.42 4 12 25解法二：抛物线的准线为 y1，A 到准线的距离为 5，又A 到准线的距离与 A到焦点的距离相等距离为 5.4抛物线 y2mx 的焦点为 F，点 P(2,2 )在此抛物线上，M 为线段 PF 的中点，则点2M 到该抛物线准线的距离为( )A1 B32C2 D52答案 D解析 点 P(2,2 )在抛物线上，(2 )22m ，2 2m4，P 到抛物线准线的距离为 2( 1)3，F 到准线距离为 2，M 到抛物线准线的距离为 d .
3、3 22 525已知抛物线 y22px (p0)的准线与圆 x2y 26x70 相切，则 p 的值为( )A. B112C2 D4答案 C解析 抛物线的准线为 x ，p2将圆方程化简得到(x3) 2y 216，准线与圆相切，则 1，p2，故选 C.p26顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(2,3) 的抛物线方程是 ( )Ay 2 x Bx 2 y94 43Cy 2 x 或 x2 y Dy 2 x 或 x2 y94 43 92 43答案 D解析 点(2,3)在第二象限，设抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py (p0)，又点(2,3) 在抛物线上，p ，p ，94 23抛物线方程为 y
4、2 x 或 x2 y.92 43二、填空题7抛物线 yax 2 的准线方程是 y2，则 a 的值为_ 答案 18解析 抛物线方程化为标准形式为 x2 y，由题意得 a0)，又 p10，y 220x .三、解答题10若抛物线 y22px (p0)上一点 M 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6，求 M 点的横坐标及抛物线方程解析 点 M 到对称轴的距离为 6，设点 M 的坐标为(x, 6)又点 M 到准线的距离为 10，Error!解得Error!或Error!故当点 M 的横坐标为 9 时，抛物线方程为 y24x.当点 M 的横坐标为 1 时，抛物线方程为 y236x.一、选择题11若动点
5、 M(x，y )到点 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程是( )Ax40 Bx 40Cy 2 8x Dy 216x答案 D解析 依题意可知 M 点到点 F 的距离等于 M 点到直线 x4 的距离，因此其轨迹是抛物线，且 p8，顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，其方程为 y216x ，故答案是 D.12(2014万州市分水中学高二期中) O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y 24 x 的焦点，2P 为 C 上一点，若|PF|4 ，则POF 的面积为( )2A2 B2 2C2 D43答案 C解析 抛物线 C 的准线方程为 x ，焦点 F( ，0) ，由| P
6、F|4 及抛物线的定2 2 2义知，P 点的横坐标 xP3 ，从而 yP2 ，2 6S POF |OF|yP| 2 2 .12 12 2 6 313已知抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P 3(x3，y 3)在抛物线上，且 2x2 x1x 3，则有( )A|P 1F| P2F|FP 3| B| P1F|2| P2F|2| P3F|2C2|P 2F|P 1F|P 3F| D|P 2F|2| P1F|P3F|答案 C解析 点 P1，P 2，P 3 在抛物线上，且 2x2x 1x 3，两边同时加上 p，得 2(x2 )x 1 x 3 ，p2
7、p2 p2即 2|P2F| P1F|P 3F|，故选 C.14(2014湖北部分重点中学高二期中) 已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为xy40，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1， P 到直线 l 的距离为 d2，则d1d 2 的最小值为( )A. B 1522 522C. 2 D 1522 522答案 D解析 设抛物线焦点为 F，过 P 作 PA 与准线垂直，垂足为 A，作 PB 与 l 垂直，垂足为 B，则 d1d 2|PA|PB |1|PF| |PB|1，显然当 P、F、B 三点共线(即 P 点在由F 向 l 作垂线的垂线段上)时，d 1d 2 取到最小值，最小
8、值为 1.52215(2014云南景洪市一中期末) 从抛物线 y24x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 |PM|5，设抛物线焦点为 F，则MPF 的面积为( )A10 B8C6 D4答案 A解析 设 P(x0，y 0)，|PM|5，x 04，y 04，S MPF |PM|y0|10.12二、填空题16(2013江西理，14)抛物线 x22py( p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 1 相x23 y23交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_.答案 6解析 如图不妨设 B(x0， )p2F(0， )，FDp，可解得 B( ， )p2 3 p24 p2在 Rt DFB
9、中，tan30 ， .BDDF 33 3 p24pp 236，p6.三、解答题17求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线 y22mx 的焦点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 A、B 两点，且|AB|6；(2)抛物线顶点在原点，对称轴是 x 轴，点 P(5，2 )到焦点的距离是 6.5解析 (1)设抛物线的准线为 l，交 x 轴于 K 点，l 的方程为 x ，如图，作m2AA l 于 A ，BBl 于 B，则|AF| AA| FK| |m|，同理|BF| m|.又|AB|6，则 2|m|6.m3，故所求抛物线方程为 y26x.(2)设焦点 F(a,0)，|PF| 6，即 a210a90
10、，解得 a1 或 a9.a 52 20当焦点为 F( 1，0) 时，p2 ，抛物线开口方向向左，其方程为 y24x；当焦点为F( 9,0)时，p 18，抛物线开口方向向左，其方程为 y236x.18一辆卡车高 3m，宽 1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为 am，求使卡车通过的 a 的最小整数值解析 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 B 点的坐标为(， )，如图所示，设隧道所在抛物线方程为 x2my，则a2 a4( )2m( )，a2 a4ma，即抛物线方程为 x2ay.将(0.8，y) 代入抛物线方程，得 0.82ay ，即 y .0.82a欲使卡车通过隧道，应有 y( )3，即 3，a4 a4 0.82a由于 a0，得上述不等式的解为 a12.21，a 应取 13.
