1、第二章 实数2. 平方根（一）一、学生起点分析学生已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性 二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第二章实数的第二节平方根本节内容计 2 个课时，本节课是第 1 课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学课程标准要求，对于数学概念的教学，要
2、关注概念的实际背景与形成过程，因此确定本节的教学目标如下：知识与技能目标1了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根2了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根3了解算术平方根的性质过程与方法目标1在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力2在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识情感与态度目标1让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根教学难点：对算术平方根的概念和性质的理解三、教法学法教学方法：讲授法课前准备：教具：教材，多
3、媒体课件，电脑学具：教材，笔，练习本四、教学过程：本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置本节课教学流程为：第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数比如上一节课我们做过的：由两个边长为 1 的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为 a 的大的正方形，那么有 a2=2，a= ，2 是有理数，而 a 是无理数在前面我们学过若 x2=a
4、，则 a 叫 x 的平方，反过来 x 叫 a 的什么呢？本节课我们一起来学习方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2= ，y 2= ，z 2= ，w 2= 意图：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性效果：能表示 x2=2，y 2=3，z 2=4，w 2=5；能求得 z2，但不能求得 x、y、w 的值说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性相对而言，建议选用方法二。第二环节：初步探究内容 1：情境
5、引出新概念x2=2，y 2=3，z 2=4，w 2=5，已知幂和指数，求底数 x，你能求出来吗？意图：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性效果：学生可以估算出 x，y 是 1 到 2 之间的数，w 是 2 到 3 之间的数但无法表示 x、y、w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算开方说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数 x，你能求出来吗？” 内容 2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ ”，
6、读作“根号 a”特别地，我们规定 0 的算术平方根是 0，即 a 意图：对算术平方根概念的认识效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的 内容 3：简单运用 巩固概念例 1 求下列各数的算术平方根：问题情境初步探究反馈练习学习小结作业布置深入探究11 111ABOCDExyzw（1）900； （2）1； （3） ； （4）1469意图：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如 14 的算术平方根是 14效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方
7、根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，负数没有算术平方根答案：解：（1）因为30 2=900，所以 900的算术平方根是30， 即 ；309（2）因为1 2=1，所以 1的算术平方根是 1，即 ；（3）因为 ，所以 的算术平方根是 ， 即 ；64987 878764（4）14 的算术平方根是 1内容 4：回解课堂引入问题x2=2，y2=3，w2=5，那么 x= ，y= ，w= 235第三环节：深入探究内容 1：例 2 自由下落物体的高度 h（米）与下落时间 t（秒）的关系为 h=4.9t2有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？意图：用算术平
8、方根的知识解决实际问题效果：学生多能利用等式的性质将 h=4.9t2 进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解解：将 h=19.6 代入公式得 h=4.9 t2， t2 =4，所以 t = =2(秒) 4即铁球到达地面需要 2 秒说明：此题是为得出下面的结论作铺垫的内容 2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点意图：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义： 中的 a 是一个非负数，a 的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根这也是算术平方根的性质双重非负性a效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根第四环节：反馈练习一、填空题：1若一个数的算术平方根是 ，
9、那么这个数是 ；72 的算术平方根是 ；93 的算术平方根是 ；)(4若 ，则 = 2m2)(二、求下列各数的算术平方根：36， ，15，0.64， ， ， 1441050)6(三、如图，从帐篷支撑竿 AB 的顶部 A 向地面拉一根绳子 AC 固定帐篷若绳子的长度为 5.5 米，地面固定点 C 到帐篷支撑竿底部 B 的距离是 4.5 米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1.7；2. ；3. ；416；二、6； ； ；0.8；32125； ；1； 205三、解：由题意得 AC=5.5 米， BC=4.5 米，ABC=90，在 RtABC 中，由勾股定理得（米）所以 帐 篷支撑竿的高是 米10
10、5.4.22BCA 10意图：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评。第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：（1）算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是 a0，二是 0a a（2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关
11、系求非负数的算术平方根意图：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质第六环节：作业布置习题 2.3五、教学设计说明1设计理念要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的概念教CBA学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a
12、，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，”的 “正数 x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a 也是正数，因此算术平方根也必须是正的当然零的算术平方根是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练,使练习题达到一定的质和量,也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示. “逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2知识拓展在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可用以下的例题和练习题进行知识的拓展：内容：
13、例 已知 ，求 的值042yxxy解：因为 和 都是非负数，并且 ，所以 ， ，042y02x04y解得 x=2，y= -4，所以 16)(2x意图：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的课后还可以布置相应的拓展性习题：内容：1已知 ，求 x+y+z 的值023212zyx2若 x，y 满足 ，求 xy 的值51yx3求 中的 x54若 的小数部分为 a， 的小数部分为 b，求 a+b 的值1515ABC 的三边长分别为 a，b，c，且 a，b 满足 ，求 c 的取值范0412围解：1因为 0， 0， 0，且 ，21x2y3z2322zyx所以 =0， =0， =0，解得 ， ， ，所以 x+y+z= 12因为 2x-10，1-2x0，所以 2x-1=0，解得 x= ，当 x= 时，y=5，所以 xy= 5= 22153解：因为 x-50， 0 ，所以 x=5 54解：因为 ，所以 的整数部分为 8， 的整数部分为 1，所以 的小413151515数部分 ， 的小数部分 ，所以385a 4bb5解：由 ，可得 ，因为 0， 0，0412ba 0)2(1a1a2)(b所以 =0， =0，所以 a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a c b+a ，即 1 c )( 3学优中考!，网
