1、空间位置关系错中“悟”我们这里所说的空间中位置关系主要包括线线、线面及面面关系,它们是学习立体几何的基础,由于该部分内容比较多,初学者的空间观念还没有建立起来,所以经常出现解题失误.特举例如下:例 1. 求证：四个角都是直角的四边形是矩形.错解：四边形的四个角都是直角， 其内角和为 360.此四边形为平面四边形，从而得到该四边形为矩形.错解剖析: 在上述的证明过程中，我们看到由“内角和为 360”就直接推出“四边形为平面四边形”进而推出最终结论，这样的理由是不充分的，所以亮起了红灯.正解： 我们看到题目给出的条件很简单，只有一个“四个角都是直角的四边形”，那么我们要想，这个四边形是平面的还是空
2、间的？如果是平面四边形，很容易得到它是矩形，但如果是空间四边形，是否结论还成立呢？下面我们通过反证法来证明.（反证法）假设四边形 ABCD 是空间四边形，且四个内角都是直角，如图，过 D 作DEAB，则 ADDE，ADDC，BCDC，BCDE.设两条相交直线 DE、DC 确定的平面为 ，则 AD，BC. 根据“如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.”有 ADBC， AD、BC 共面，这与假设 ABCD 是空间四边形相矛盾. 四边形 ABCD 是平面四边形. 从而得到该四边形为矩形.例 2. 已知 a ，ab，b，求证：a.错解：因为 b，ab，所以 a 或 a.又 a ，所以 a.
3、错解剖析:上面解题过程被亮起红灯的原因是对位置关系的判定理解不正确.在平面里，我们有这样的结论：“垂直于同一直线的两条直线平行”.但是在空间中，这个结论是不成立的，所以不能没有根据的随意类推.正解： 如图所示，在 a 上任取一点 A， 过点 A 作直线 bb，设 bB，过两条 相交直线 a、b可作平面 a,因为 b，所以 b，ba.又ba，bb， 所以 ba. 又 a、a同在 内，所以 aa，又 a ，a ，所以 a.例 3.三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（ ）.A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 1 条或 2 条错解：选 A.如图 1：错解: 上述解答只考虑到三个平
4、面相交，且三条交线重合的情况，而忘记考虑三个平面相交，但交线不重合的情况.正解： 当三个平面相交，且三条交线重合时，如图 1，三个平面只有一条交线；当三个平面相交，但交线不重合时，如图 2，其中有两个平面平行，第三个平面与它们相交，此时也可将空间分成 6 部分，而它们的交线有 2 条. 故综合以上两种情况，正确选项为 D.例 4.若直线 a、b 异面，直线 b、c 异面，则 a、c 的位置关系是（ ）.A 异面 B 相交 C 平行 D 以上都有可能错解： 选 A.错解剖析: 想到 ab，bc?圯 ac，于是对于异面直线也作类似推断，认为与同一条直线异面的两条直线也异面.这种解答只凭感觉就作出选
5、择，毫无理论根据.正解： 如图 1，a 与 b 异面，b 与 c 异面，a 与 c 也异面；如图 2，同样在满足条件的情况下，a 与 c 相交；如图 3，a 与 c 平行.所以，异面、相交、平行都有可能出现.故选 D.例 5. 线段 AB、CD 分别在两条异面直线上，M、N 分别是线段 AB、CD 的中点，则（ ）.错解： 想到梯形的中位线定理，故选 C.错解剖析: 由于四边形 ABDC 是空间四边形，不满足梯形的中位线定理，从而出错.正解： 如下图所示，四边形 ABDC 是空间四边形，而不是平面四边形，要想求 MN 与AB、CD 的关系，必须将它们转化到平面来考虑.我们可以连结 AD，取 AD 的中点为 G，再连结 MG、NG，如图：在ABD 中，M、G 分别是线段 AB、AD 的中点，则 MGBD，且 ,同理，BDM21在ADC 中，NGAC，且 ,又根据三角形的三边关系知， MNMG+NG，即ACN21,故正确选项为 D.)(21BDBDN
