1、26 曲线与方程26.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线与方程的对应关系.2.掌握证明已知曲线 C 的方程是 f(x，y )0 的方法和步骤知识链接1直线 yx 上任一点 M 到两坐标轴距离相等吗？答：相等2到两坐标轴距离相等的点都在直线 yx 上，对吗？答：不对3到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答：yx.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的坐标( x0，y 0)满足 y0x 0 或y0x 0；即(x 0，y 0)是方程 yx 的解；反之，如果( x0，y 0)是方程 yx 或 yx 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等预习导引1曲线与方程一般地，在
2、直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2点与曲线如果曲线 C 的方程是 f(x，y)0，那么点 P(x0，y 0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y 0)0.要点一 曲线与方程的概念例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k0)的点的轨迹方程是 xyk.证明 如图，设 M(x0，y 0)是轨迹上的任意一点因为点 M 与 x 轴的距离为| y0|，与 y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|y0|k
3、，即(x 0， y0)是方程 xyk 的解设点 M1 的坐标(x 1，y 1)是方程 xyk 的解，则 x1y1k，即| x1|y1|k .而|x 1|，|y 1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离，因此点 M1 到这两条直线的距离的积是常数 k，点M1 是曲线上的点由可知，xyk 是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k0)的点的轨迹方程规律方法 解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多” ，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪演
4、练 1 判断下列命题是否正确(1)以坐标原点为圆心，半径为 r 的圆的方程是 y ；r2 x2(2)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 的方程为| x|2.解 (1)不正确设(x 0，y 0)是方程 y 的解，则 y0 ，即 x y r 2.两边开平r2 x2 r2 x20 20 20方取算术平方根，得 r 即点(x 0，y 0)到原点的距离等于 r，点( x0，y 0)是这个圆上的x20 y20点因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点但是，以原点为圆心、半径为 r 的圆上的一点如点( ， r)在圆上，却不是 y 的解，这就不满足曲线上的点的坐标都r2 32 r2 x2是方程的解所
5、以，以原点为圆心，半径为 r 的圆的方程不是 y ，而应是 yr2 x2.r2 x2(2)不正确直线 l 上的点的坐标都是方程| x|2 的解然而，坐标满足| x|2 的点不一定在直线 l 上，因此|x|2 不是直线 l 的方程，直线 l 的方程为 x2.要点二 由方程判断曲线例 2 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正(1) 0；(2)x 2y 20；x y(3)|x|y0.解 (1)中，曲线上的点不全是方程 0 的解，如点 (1，1)等，x y即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解” ，但以方程 x2y 20 的解为坐标
6、的点不全在曲线上，如点(2，2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上 ”这一结论；(3)中，类似(1)(2) 得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解” ， “以方程的解为坐标的点都在曲线上” 事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：规律方法 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线跟踪演练 2 求方程(xy1) 0 所表示的曲线x 1解 依题意可得Error!或 x10，即 xy10(x 1)或 x1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线 xy10(x1)和直线 x1.要点三
7、曲线与方程关系的应用例 3 若曲线 y2xy2x k 0 过点( a，a) ( aR)，求 k 的取值范围解 曲线 y2xy2x k 0 过点( a，a)，a 2a 22ak0.k2a 22a2( a )2 .12 12k ，k 的取值范围是(， 12 12规律方法 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题跟踪演练 3 已知方程 x2( y1) 210.(1)判断点 P(1，2)，Q( ，3) 是否在此方程表
8、示的曲线上；2(2)若点 M( ，m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值m2解 (1)1 2(21) 210，( )2(3 1) 2610，2P(1，2) 在方程 x2(y 1) 210 表示的曲线上，Q( ，3) 不在此曲线上2(2)M( ，m)在方程 x2( y1) 210 表示的曲线上，( )2(m1) 210.解得 m2m2 m2或 m .1851 “点 M 在曲线 y24x 上”是“点 M 的坐标满足方程 y2 ”的_条件x答案 必要不充分解析 y2 0，而 y24x 中 y 可正可负，点 M 在曲线 y24x 上，但 M 不一定在xy2 上反之点 M 在 y2 上时，一定在 y24
9、x 上x x2方程(x 24) 2(y 24) 20 表示的图形是_答案 四个点解析 由已知得Error!Error!即Error!或Error!或Error!或Error!3下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是_答案 解析 对于，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除 ；对于，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除；对于，曲线上第三象限的点，由于 x0)所确定的两条曲线有两个交点，则 a 的取值范围是_答案 a1解析 a0，方程 ya|x|和 yxa 的图象大致如图，要使方程ya|x |和 yx a 所确定的两条曲线有两个交点，则要求 ya|x| 在 y 轴右侧的斜率大于
10、 yx a 的斜率，a1.1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上2点(x 0，y 0)在曲线 C 上的充要条件是点(x 0，y 0)适合曲线 C 的方程一、基础达标1方程 y3x2 (x 1)表示的曲线为_答案 一条射线解析 方程 y3x 2 表示的曲线是一条直线，当 x1 时，它表示一条射线2方程 x2xyx 表示的曲线是 _答案 两条直线解析 由 x2xyx ，得 x(x y1) 0，即 x0 或 xy10.由此知方程 x2xy x 表示两条直线3曲线 C 的方程为 yx (1x 5) ，则下列四点中在曲线 C 上的是_(0,
11、0) ( ， ) (1,5) (4,4)15 15答案 解析 (4,4)适合方程 yx 且满足 1x5.4方程 x2y 21 (xy0)表示的曲线形状是_答案 解析 由 x2y 21 可知方程表示的曲线为圆又xy0，图象在第二、四象限内5下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是_(填序号) yx 与 y (x 1) 2(y2) 20 与( x1)( y2) 0 y 与 xy1 ylgx 2 与x21xy2lgx答案 解析 y 与 xy1 表示双曲线1x6下列命题正确的是_( 填序号) 方程 1 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距是 2 的直线；xy 2ABC 的顶点坐标分别为 A(0,3)，B
12、 (2,0)，C(2,0)，则中线 AO 的方程是 x0；到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y5；曲线 2x23y 22x m0 通过原点的充要条件是 m0.答案 解析 对照曲线和方程的概念，中，方程需满足 y2；中， “中线 AO 的方程是 x0 (0y 3)”；而中，动点的轨迹方程为 |y|5，从而只有是正确的7(1)方程|x| 1 表示什么曲线？1 (y 1)2(2)方程 2x2y 24x 2y 30 表示什么曲线？解 (1)|x| 1 1 (y 1)2Error!Error!Error!Error!或Error!故方程表示两个半圆(2)方程左边配方得 2(x1) 2(y1) 20
13、，2(x 1)20，(y 1) 20，Error!Error!方程表示的图形是点 A(1， 1)二、能力提升8点 A(1， 2)在曲线 x22xy ay 50 上，则 a_.答案 5解析 由题意可知点(1，2)是方程 x22xyay 50 的一组解，即 142a50，解得 a5.9已知定点 P(x0，y 0)不在直线 l：f (x，y) 0 上，则方程 f(x，y )f(x 0，y 0)0 表示的直线是_(填序号)过点 p 且垂直于 l 的直线；过点 p 且平行于 l 的直线；不过点 P 但垂直于 l 的直线；不过点 P 但平行于 l 的直线答案 解析 点 P 的坐标(x 0，y 0)满足方程
14、 f(x，y)f(x 0，y 0)0，因此方程表示的直线过点 P.又f(x 0， y0)为非零常数，方程可化为 f(x, y)f (x0，y 0)，方程表示的直线与直线 l 平行10已知方程xy 0； 0；x 2y 20； 1，其中能表示直角坐标系的第x yxy一、三象限的角平分线 C 的方程的序号是 _答案 解析 是正确的；不正确如点(1，1) 在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程 0 ；不正确如点(1,1) 满足方程 x2y 20，但它不在曲线 C 上；不正x y确如点(0,0)在曲线 C 上，但其坐标不满足方程 1.xy11方程(xy1) 0 表示什么曲线？x2 y2 4解 由(x
15、y1) 0 可得x2 y2 4Error!或 x2y 240，即Error!或 x2y 24，由圆 x2y 24 的圆心到直线 xy10 的距离 d 2 得直线与圆相交，所以Error!12 22表示直线 xy10 在圆 x2y 24 上和外面的部分，x 2y 24 表示圆心在坐标原点，半径为 2 的圆所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为 2 的圆和直线 xy10 在圆 x2y 24 的外面的部分，如图所示12证明圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程是 x2y 225，并判断点 M1(3，4) ，M 2(2 ，2)是否在这个圆上5证明 设 M(x0，y 0)是圆上任意一点，因为点 M 到原
16、点的距离等于 5，所以 5，也x20 y20就是 x y 25，即(x 0，y 0)是方程 x2y 225 的解20 20设(x 0，y 0)是方程 x2y 225 的解，那么 x y 25，两边开方取算术平方根，得20 205，即点 M(x0，y 0)到原点的距离等于 5，点 M(x0，y 0)是这个圆上的点x20 y20由、可知，x 2y 225 是圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程把点 M1(3，4) 代入方程 x2y 225，左右两边相等，(3，4) 是方程的解，所以点 M1 在这个圆上；把点 M2(2 ，2) 代入方程 x2y 225，左右两边不相等，( 2 ，2)不是方程的5 5解，所以点 M2 不在这个圆上三、探究与创新13已知曲线 C 的方程为 x ，说明曲线 C 是什么样的曲线，并求该曲线与 y 轴围成4 y2的图形的面积解 由 x ，得 x2y 24.4 y2又 x0，所以方程 x 表示的曲线是以原点为圆心， 2 为半径的右半圆，从而该曲线 C 与 y 轴4 y2围成的图形是半圆，其面积 S 42.12所以所求图形的面积为 2.
