1、1同类项(1)定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项几个常数项也是同类项(2)条件：字母相同，相同字母的指数也相同，二者同时具备如：2 x2y3与 2x3y2虽然字母相同，但相同字母的指数不相同，因此也不是同类项(3)分类：同类项包括三种情况：只有系数不同的项，完全相同的项；所有常数项谈重点 项的概念 同类项，两个条件不能忘：字母要相同，相同字母的指数要一样【例 1】判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“” ，错误的打“” (1)3x 与 3mx 是同类项( )；(2)2ab 与5 ab 是同类项( )；(3)3x2y 与 yx2是同类项( )；13(4)5ab2与2 a
2、b2c 是同类项( )；(5)23与 32是同类项( )解析：(2)(3)(5)是同类项，其中第(3)题满足同类项的条件，只要运用乘法交换律即可；第(5)题两个都是常数项属于同类项，不能因为指数不同，误认为不是同类项；(1)(4)不是，字母部分不同答案：(1) (2) (3) (4) (5)2合并同类项(1)概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项(2)法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变理解为：只有系数相加减，字母和字母的指数不变(3)步骤：合并同类项的步骤：(找)找同类项；(移)根据加法的交换律把同类项移到一起；(合)根据法则合并同类
3、项(4)注意事项：多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并；若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如：3 ab23 ab2(33)ab20 ab20；多项式中没有同类项的单独的一项，要记住照抄下来；最后的计算结果一般是按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列谈重点 合并同类项歌诀 合并同类项，合并法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样即我们常说的“一变两不变” 【例 2】 标出多项式 3x2y4 xy235 x2y2 xy25 中的同类项，并合并同类项分析：在合并同类项过程中要根据加法交换律、结合律变换项的位置并结合，要注意移动的过程中带着符号移动解：
4、3 x2y4 xy235 x2y2 xy253 x2y5 x2y4 xy22 xy253(35) x2y(42) xy2(53)8 x2y2 xy22.3去括号(1)依据：分配律(2)法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反(3)注意事项：因数是1 或1：( x3)与( x3)可以分别看作 1 与1 分别乘( x3)；去括号时括号里每一项的符号都要考虑，做到要变都变；要不变，则都不变；括号内原有几项去掉括号后仍有几项(4)易错点：变前不变后，如：(2 x1)2 x1 错；乘前不乘后，如：2(3
5、y1)6 y1 错；有时候两种错误都犯去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“”号，全变号【例 3】 化简下列各式：(1)8 a2 b(5 a b)；(2)(5a3 b)3( a22 b)分析：先观察括号前的因数的正负，判定用哪个法则，去括号后，要不要变号，然后是同类项的再合并同类项解：(1)原式8 a2 b5 a b8 a5 a2 b b13 a b；(2)原式5 a3 b3 a26 b3 a25 a3 b6 b3 a25 a3 b.4整式的加减(1)法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项(2)步骤：如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项所以去括号和合并同
6、类项是整式的加减的基础(3)注意事项：小学所学运算律依然能够应用，这是数式运算的通性；当减去一个多项式时，一定要加括号，因为减去的是多项式这个整体例如：求多项式 2x23 x 与 x23 x 的差，是(2 x23 x)( x23 x) x2而不是2x23 x x23 x x26 x.【例 41】 计算：(1)( x y) (2 x3 y)；(2)2(a22 b2)3(2 a2 b2)分析：整式加减的基础就是去括号和合并同类项，所以由题目可以看出，先去括号，再合并同类项解：(1)原式 x y2 x3 y x2 x y3 y x4 y；(2)原式2 a24 b26 a23 b22 a26 a24
7、b23 b24 a27 b2.【例 42】 一个多项式加上5 x24 x3 等于 x23 x，求这个多项式分析：由题意知，在这个运算过程中 x23 x 是和，5 x24 x3 是其中的一个加数，另一个加数就等于和减加数，所以列式，得( x23 x)(5 x24 x3)，化简求出即可解：由题意，得( x23 x)(5 x24 x3) x23 x5 x24 x34 x2 x3.答：这个多项式为 4x2 x3.5求多项式的值(1)方法步骤：化简：根据去括号、合并同类项法则进行整式加减运算，把整式化为最简(一般不含括号、没有同类项)求值：代入运算，求出代数式的值(2)注意事项：对于大多数式子一定要先化
8、简再求值，这样可以简化计算过程对于有些要用整体求法的，则要灵活运用析规律 求多项式的值的方法 对于求多项式的值，不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单，而后代入求值【例 5】 化简求值：(2 x3 xyz)2( x3 y3 xyz)( xyz2 y3)，其中x1， y2， z3.分析：先去括号、再合并同类项，代入求值解：原式2 x3 xyz2 x32 y32 xyz xyz2 y32 xyz.当 x1， y2， z3 时，原式212(3)12.6同类项应用方法汇总同类项定义是同类项应用的关键，它的应用主要包括以下三个方面：(1)同类项的辨别：一般是给
9、出几个单项式或给出一个多项式，辨别是否是同类项(2)逆用同类项定义求未知数的值：已知两个含有字母未知数指数的单项式，它们是同类项，根据相同字母的指数也相同，列出关系式，求出未知数的值(3)开放性应用：写出已知项的同类项这三类题目都是以同类项的定义为应用基础，紧紧抓住“字母相同，并且相同字母的指数也相同”这一核心解决解技巧 判断同类项的方法 一看字母是否相同；二看相同字母的指数是否相同，两者同时具备才可【例 61】 指出下列多项式中的同类项：(1)3x2 y13 y2 x5；(2)3x2y2 xy2 xy2 yx2.13 32分析：(1)几个常数项也是同类项，(2)在字母相同的基础上，相同字母的
10、指数也必须相同，因数的位置可以不同解：(1)3 x 与2 x，2 y 与 3y,1 与5 是同类项(2)3x2y 与 yx2，2 xy2与 xy2是同类项来源:学优32 13【例 62】 如果 3xmy6与4 x4y2n是同类项，那么 m_， n_.解析：是同类项那么字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以 m4,2 n6，所以n3.答案：4 3【例 63】 写出5 x3y2的两个同类项_解析：必须含有字母 x， y，并且字母 x， y 的指数分别是 3,2，系数相同也可答案：答案不唯一，如：5 x3y2， x3y2,3x3y2，7.整式加减题型归类整式加减的实质虽然是去括号和合并同类项的综合
11、应用，但有关的题型却丰富多彩，解法也不尽相同，常见的题型有：(1)求几个单项式的和解法是将几个单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项(2)求几个多项式的和或差求几个多项式的和或差，首先用括号把每一个多项式括起来，并用加号或减号连接，然后按照去括号、合并同类项的法则进行计算必须注意：求两个多项式的差，后面的多项式是减式，一定要加括号来源:学优 WWW.ZK5U.COM(3)求用字母表示的整式加减求用字母表示的整式加减，有需要化简首先将其化简，然后再将字母表示的多项式整体代换列式，再去括号、合并同类项(4)普通型：利用分配律的整式加减在整式加减中，如果括号前面有乘数，那么首先利用
12、分配律去括号，然后再合并同类项必须注意：不能漏乘；如果乘数前面是负号，去括号后原来的各项要全变号(5)含有多重括号的整式加减整式加减算式中含有多重括号，一般是先去小括号，这时如果有同类项，那么应合并同类项，这样可简化计算；然后再去中括号，最后去大括号【例 71】 求单项式 5x2y,2xy2，2 x2y，6 xy2的和分析：先将所有单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项解：5 x2y2 xy2(2 x2y)(6 xy2)5 x2y2 xy22 x2y6 xy23 x2y4 xy2.【例 72】 求 4x23 xy2 y2与 x25 xy2 y2的差分析：因为每一个多项式都是一
13、个整体，加括号后，把前一个多项当作被减式，后一个作减式，列式，然后去括号，合并同类项化简解：(4 x23 xy2 y2)( x25 xy2 y2)4 x23 xy2 y2 x25 xy2 y23 x28 xy.【例 73】 已知 A3 x32 x21， B x32 x2 x4，求 2A( A B)分析：首先将用字母表示的整式化简，然后再将字母表示的多项式代入，再去括号、合并同类项解：2 A( A B)2 A A B A B(3 x32 x21)( x32 x2 x4)3 x32 x21 x32 x2 x42 x3 x3.【例 74】 计算：2 x2 3y22( x23 y2)612分析：从里到
14、外先去小括号，有同类项的先合并，再去中括号，再合并同类项解：原式2 x2 (3y22 x26 y26)122 x2 (9y22 x26)122 x2 y2 x2392 x2 y23.928.数字问题的解法学习了字母表示数以后，同样也可以用含字母的式子表示一个数，由于用字母表示的数和用具体数字表示的数的特点不同，如：269 表示的是 2 个百 6个十 9 个 1，但 zyx 不能表示 z 个百 y 个十 x 个 1，它只能表示 zyx，所以字母表示的数有自己独特的特点，如：个位数字是 x，十位数字是 y，百位数字是 z，那么这个三位数就是 100z10 y x.破疑点 数字问题的解释 比如 78
15、9 这个数中，7 表示 7 个百，8 表示 8 个十，9 表示9 个 1，这是字母表示数的理论基础【例 81】 一个两位数，十位上的数字是 x，个位上的数字是 y，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的两位数是( )A yx B y x C10 y x D10 x y解析：对调后个位数字就是 x，十位数字就是 y，所以这个两位数就是 10y x.答案：C【例 82】 一个三位数，十位数字为 x，个位数字比十位数字少 3，百位数字是个位数字的 3 倍，则这个三位数是_解析：由题意可知个位数字是 x3，十位数字是 x，百位数字是 3(x3)，所以这个三位数就是 1003(x3)10 x( x3)
16、300 x90010 x x3311 x903.答案：311 x903(3 x6， xN)9求整式的值中的整体思想的运用(1)“整体思想”就是将问题看成一个完整的整体，在解题的过程中，从整体上考虑，注重问题的整体结构，突出问题的整体性的分析和变形，在整式的加减运算中，运用整体思想对某些问题进行整体处理，常常能化繁为简，解决一些目前无法解决的问题(2)方法：在整式的加减运算中，把一个式子看成一个数或字母，整体代入进行运算，如： x22 x3，那么 2(x22 x)236.在这个过程中把 x22 x 当作一个整体，一个数，进行运算变形，从而不必求 x 的值，就可求出 2x24 x 的值【例 91】
17、 已知 m3 n2，求式子 3m9 n5 的值分析：将 m3 n 看作一个整体，再将所求式子逆用分配律进行变形，化成与 m3 n 有关的式子，将 m3 n2 代入即可求出其值解：3 m9 n53( m3 n)5，当 m3 n2 时，3 m9 n53251.【例 92】 已知式子 x24 x1 的值是 3，求式子 3x212 x1 的值分析：若从已知条件出发先求出 x 的值，再代入计算，目前来说是不可能的因此可把 x24 x 看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解因为 x24 x13，所以x24 x2.所以 3x212 x13( x24 x)13215.解：因为 x24 x13，所以 x
18、24 x2，所以 3x212 x13( x24 x)13215.10.日历中可用整式表示的数字规律日历中的数，或表格中有规律排列的数，用正方形，十字形等框出的数之间都有一定的规律，如下图：我们可以设其中的一个数为 x，根据它们之间的关系，列出代数式，经过运算、比较就会发现其中的规律，这是一种方法，从研究这个问题的方法中，我们会发现，用字母表示数比用具体数字更具有一般性，能更容易的表达出所发现的规律【例 10】 如下图是某月的日历表，表格中方框内有 9 个数字，(1)试探究图方框中的 9 个数字之和与方框正中间的数字有什么关系？(2)如图不改变方框的大小，任意移动方框的位置试一试，你能得到什么结
19、论？你能证明这个结论吗？(3)若设这个方框正中间的数字为 a，试用含 a 的式子表示这 9 个数的和 m.(4)若当 a20 或 23 时，求方框内的数字之和解：(1)方框中的 9 个数字之和是方框正中间的数字 10 的 9 倍(2)设中间的数为 x，那么 9 个数字则如图所示，它们的和( x8)( x7)( x6)( x1) x( x1)( x6)( x7)( x8)9 x.所以方框中的 9 个数字之和是方框正中间的数字的 9 倍来源:学优(3)m9 a.(4)把 a20,23 分别代入 m9 a 中，得 m180,207.答：当 a20,23 时，方框内的数字之和分别是 180 和 207.
