1、课题 1.3 组合 组合数公式组合数性质进行运算 第三课时教学目标知识与技能：掌握组合数公式，组合数性质，运用组合数公式组合数性质进行运算。过程与方法：能运用组合概念分析简单的实际实际问题，提高分析问题的能力。情感、态度与价值观： 许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。教学重点教学难点运用组合概念分析简单的实际实际问题换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗。教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：运用组合概念分析简单的实际实际问题，提高分析问题的能力。教学过程：学生探究过程：回顾如下知识点组合的定
2、义组合数公式组合数性质1：2：3：4：例 2 平面内有 12 个点，任何 3 点不在同一直线上,以每 3 点为顶点画一个三角形,一! )( mnCcnmn11 ?725xCx， 求例 一 ： 已 知 ： nxgfxgfNnfmn)()(:2,*或 等 价 于） 方 程（ 。、中即 合 数 的 意 义 ，） 组 合 数 方 程 要 注 意 组注 ： （ 4256152041,xxtttC求 ： 已 知变 式 求： 已 知变 式 ! )1()2(1mnnPmn 共可画多少个三角形?变式1. 从 9 名学生中选出 3 人做值日,有多少种不同的选法?2. 有 5 本不同的书,某人要从中借 2 本,有多
3、少种不同的借法?例 3 有 13 个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组 7 个队,第二组 6 个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共 4 个队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场?例 4 在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查.现在从 100 件产品中任意抽出3 件:(1)一共有多少种不同的抽法?(2)如果 100 件产品中有 2 件次品,抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种?(3)如果 100 件产品中有 2 件次品,抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?说明：“至少” “至多”的问题，通常用分类法或间接
4、法求解。变式：按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多 2 人当选； （6）甲、乙、丙三人至少 1 人当选；例 5：6 本不同的书全部送给 5 人，每人至少一本，有几种不同的送书方法？分析：这是一个常见的排列组合混合题，对于这样的题目，解题思想：先组后排，“每人至少一本”的含义是“必然有 1 人得 2 本所以，要分两步变式 1： 6 本不同的书全部送给 5 人，有几种不同的送书方法？变式 2： 5 本不同的书全部送给 6
5、人，每人最多 1 本，有几种不同的送书方法？变式 3： 5 本相同的书全部送给 6 人，每人最多 1 本，有几种不同的送书方法？巩固练习：书本第 24 页 1，2，3， 4 课外作业：第 25 页 习题 1.3 7，8，9 教学反思：教科书在研究组合数的两个性质 ， 时，给出了mnC11mnnC组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。例 1 证明： 。pnmpnmC证明：原式左端可看成一个班有 个同学，从中选出
6、个同学组成兴趣小组，在n选出的 个同学中， 个同学参加数学兴趣小组，余下的 个同学参加物理兴趣小n p组的选法数。原式右端可看成直接在 个同学中选出 个同学参加数学兴趣小组，在mp余下的 个同学中选出 个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法pmpn是一致的，故左边=右边，等式成立。例 2 证明： （其中 ） 。10mnnCmnnC0证明：设某班有 个男同学、 个女同学，从中选出 个同学组成兴趣小组，可分为 类：男同学 0 个，1 个， 个，则女同学分别为 个， 个，1 1，0 个，共有选法数为 。又由组合定义知选法数为1mnn 0mn，故等式成立。mnC例 3 证明： 。321nnC1
7、2n证明：左边= = ，n 311nnCn1其中 可表示先在 个元素里选 个，再从 个元素里选一个的组合数。设某班有inC1 ii个同学，选出若干人（至少 1 人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数 分类（ ） ，则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选i，2in组长，有 种选法，再决定剩下的 人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有 种，所以选法总数为 种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，12n 1等式成立。例 4 证明： 。3221nnC22)1(nn证明：由于 可表示先在 个元素里选 个，再从 个元素里选两iiin2ii个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例 3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有 种选法；若组长和副组长不是同一12n个人，则有 种选法。共有 + 种选法。显2)1(n 2)(2)1(n然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
