1、第九章 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标 1 理解并会应用平面的基本性质 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图 2 掌握证明关于“线共点” 、 “线共面” 、 “点共线”的方法3 会作几何体的截面图知识点归纳 1平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2平面的画法及其表示方法：常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成 45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画一般用一个希腊字母 、 、 来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面 AC等3空间图形是由点、线、面组成的点、
2、线、面的基本位置关系如下表所示：图形 符号语言 文字语言（读法）A a Aa点 A在直线 a上 A a 点 不在直线 上A 点 在平面 内 A A点 A不在平面 内 baA ab直线 a、 b交于 点a 直线 在平面 内 a 直线 a与平面 无公共点 aA aA直线 与平面 交于点 Al平面 、 相交于直线 la（平面 外的直线 a）表示 或 aA4 平面的基本性质公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： AB 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一 个面是否是平面公理 1 说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面
3、的“平” ，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性” ，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式： Al且 Al且 唯一如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理 2 揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法公理 3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式： , ABC不共线 存在唯一的平面 ，使得 ,ABC应用：确定平面；证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解， “有”说明图形存在，
4、但不唯一， “只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在， “有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中， “确定一个” ， “可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证推论 1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式： Aa存在唯一的平面 ，使得 A， l 推论 2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式： Pb存在唯一的平面 ，使得 ,ab推论 3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式： /a存在唯一的平面 ，使得 ,5 平面图形与空间图形的
5、概念:如果一个图形的所有点都在同一个 平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形题型讲解 例 1 如下图，四面体 ABCD 中，E、G 分别为 BC、AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD上，且有 DFFC=23，DHHA=2 3求证：EF、GH、BD 交于一点BA分析：只要证明点 E、F、G、H 分别所在的直线 EG 和 HF 平行，由公理的推论 3 就可知它们共面在ABD 和CBD 中，由 E、G 分别是 BC 和 AB 的中点及 2DFHCA可得EG 12AC，HF 5AC，所以 EGHF, 直线 EF，GH 是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点 P，因此，要证三条直线
6、 EF、GH、BD 交于一点，只要证点 P 在直线 AC 上即可事实上，由于 BD 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线，而点 P 是上述两平面的公共点，由公理 2 知 PBD证法一：(几何法)连结 GE、HF ，E、G 分别为 BC、AB 的中点，GEAC又DFFC=23，DHHA=2 3，HFACGEHF故 G、E、F 、 H 四点共面又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 P则 P面 ABD， P面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BDEF、GH、BD 交于一点证法二：（向量法）由 111()222EGBABCCA555FHDD 4，从
7、而 EH FG故 G、E、F 、 H 四点共面又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 P则 P面 ABD， P面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BDEF、GH、BD 交于一点点评：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线例 2 已知 n 条互相平行的直线 l1,l2,l3,ln 分别与直线 l 相交于点 A1，A 2， ，A n，求证：l 1,l2,l3,ln 与 l 共面分析：证明多条直线（三条或三条以上）共面，先由两条确定一个平面，再证其它直线在这个平面内，或者分别由两条直线确定几个平面，再证这些平面重合证法一：因为
8、l1l=A1,所以 l1 与 l 确定平面 ，设 lk 是与 l1 平行的直线中的任一条直线，且 lk l=Ak,则 ,Ak,lkl 1,设 lk 与 l1 确定平面 ，则 1l,Ak ,因此 l1 与 Ak 既在平面 内又在平面内，根据公理的推论 1 知过 l1 和其外一点的平面有且只有一个，所以 和 重合，从而PG HFE DCBA由 lk 的任意性知 l1,l2,l3,ln 共面证法二： l1l 2,l1l 3 直线 l1 和 l2 及直线 l1 和 l3 分别确定一个平面 和l1l=A1, l2 l=A2, l3 l=A3, A1,A2 ,A2,A3 ,l,且 l , 和 都是过相交直
9、线 l1 和 l 的平面，而过两相交直线的平面有且只有一个l1,l2,l3,l 共面，同理可证 l4,l5,ln 都在由直线 l1 和 l 所确定的平面内例 3 如图，已知四边形 ABCD 中，ABCD，四条边 AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面 相交于 E，F，G，H 四点，求证：四点 E，F，G ，H 共线证明： ABCD，AB，CD 确定一个平面 ，易知 AB，BC，DC，AD 都在 内，由平面的性质可知四点E，F， G，H 都在 上，因而，E，G，G，H 必都在平面 与 的交线上，所以四点 E，F，G，H 共线例 4 如图，在一封闭的正方体容器内装满水， M，N 分别是 A
10、A1 与 C1D1 的中点，由于某种原因，在 D，M，N 三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？解：使过三点 M，N，D 的平面成为水平面时， 容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过 M，N，D 三点所作正方体的截面的形状连结 DM 并延长 DM 交 D1A1 的延长线于 P，则点 P 既在截面内又在底面 A1B1C1D1 内，连结 PN 交 A1B1 于 E，连 ME，ND，则过 M，N，D 的截面就是四边形 DMEN，易证 MEDN 且 MEDN，因而它是一个梯形小结：1 证明“线共点”的方法，一般是先证两条直线相交于一点，然后再
11、证其它的直线过这一点2 证明“线共面”的问题，一般先由公理 3 或推论确定一个平面，再证明其它的直线在这个平面内3 证明“点共线”的方法，一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决4 作几何体的截面图时，常利用平面的性质，设法确定所作截面上的关键点，从而确定截面图形学生练习 1 将命题“Pl ,Ql ,且 P，Q l”用文字语言表述是 2 若平面 平面 =直线 l，点 A，A 则点 l ,其理由是 3 下列命题中正确的是（ ）A 空间不同的三点确定一个平面 B 空间两两相交的三条直线确定一个平面C 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形G HFEDCBAP NMED1 C1B1A1D C
12、BAD 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内4 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一底角为 45，腰和上底的长均为 1 的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）A2+ 2 B1+ C 2 D 215E、F、 G、H 是三棱锥 A-BCD 的棱 AB、AD、CD、CB 上的点，延长 EF、HG 交于 P 点，则点 P（ ）A 一定在直线 AC 上 B 一定在直线 BD 上C 只在平 BCD 内 D 只在平面 ABD 内6 空间三条直线中的一条直线与其它两条都相交，那么由这三条直线最多可确定平面的个数是（ ）个A1 B 2 C 3 D 4 7 用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，
13、则这个多边形边数最多是（ ）A 三 B 四 C 六 D 八 8“直线上有一点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分又不必要条件9 已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 10 下列说法正确的是 空间四边形的对角线一定不相交 1四个角都是直角的四边形一定是平面图形 2两两相交的三条直线一定共面 3在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面 411 已知直线 c 和 d 与异面直线 a,b 都相交，则由直线 c,d 可确定的平面的个数为 12 不重合的三个平面把空间分成 n 个部分（不包括平面本身）则
14、n 的可能值是 13 已知不共面的三条直线 a,b,c 两两相交，求证：这三条直线交于一点14 已知 A,B,C 是空间不共线的三点，画直线 AB,BC,CA 设 X,Y,Z 分别表示直线 BC,CA,AB上的任意一点，试问直线 AX,BY,CZ 是否共面？并证明你的结论课前后备注第九章 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标 1 理解并会应用平面的基本性质 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图 2 掌握证明关于“线共点” 、 “线共面” 、 “点共线”的方法3 会作几何体的截面图知识点归纳 1平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2平面的画法及其表示方法：
15、常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成 45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画一般用一个希腊字母 、 、 来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面 AC等3空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形 符号语言 文字语言（读法）A a Aa点 A在直线 a上 A a 点 不在直线 上A 点 在平面 内 A A点 A不在平面 内 baA ab直线 a、 b交于 点a 直线 在平面 内 a 直线 a与平面 无公共点 aA aA直线 与平面 交于点 Al平面 、 相交于直线 la（平
16、面 外的直线 a）表示 或 aA4 平面的基本性质公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： AB 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一 个面是否是平面BA公理 1 说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平” ，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性” ，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式： Al且 Al且 唯一如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理 2 揭示
17、了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法公理 3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式： , ABC不共线 存在唯一的平面 ，使得 ,ABC应用：确定平面；证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解， “有”说明图形存在，但不唯一， “只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在， “有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中， “确定一个” ， “可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证推论 1 经
18、过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式： Aa存在唯一的平面 ，使得 A， l 推论 2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式： Pb存在唯一的平面 ，使得 ,ab推论 3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式： /a存在唯一的平面 ，使得 ,5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个 平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形题型讲解 例 1 如下图，四面体 ABCD 中，E、G 分别为 BC、AB 的中点，F 在 CD 上，H 在 AD上，且有 DFFC=23，DHHA=2 3求证：EF、GH、BD 交于一点分析：只要证明点 E、F、G、H 分别所
19、在的直线 EG 和 HF 平行，由公理的推论 3 就可知它们共面在ABD 和CBD 中，由 E、G 分别是 BC 和 AB 的中点及 2DFCA可得EG 12AC，HF 5AC，所以 EGHF, 直线 EF，GH 是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点 P，因此，要证三条直线 EF、GH、BD 交于一点，只要证点 P 在直线 AC 上即可事实上，由于 BD 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线，而点 P 是上述两平面的公共点，由公理 2 知 PBD证法一：(几何法)连结 GE、HF ，E、G 分别为 BC、AB 的中点，GEAC又DFFC=23，DHHA=2 3
20、，HFACGEHF故 G、E、F 、 H 四点共面又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 P则 P面 ABD， P面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BDEF、GH、BD 交于一点证法二：（向量法）由 111()222EGBABCCA555FHDD 4，从而 EH FG故 G、E、F 、 H 四点共面又EF 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为 P则 P面 ABD， P面 BCD，而平面 ABD平面 BCD=BDEF、GH、BD 交于一点点评：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线例 2 已知 n 条互相平行
21、的直线 l1,l2,l3,ln 分别与直线 l 相交于点 A1，A 2， ，A n，求证：l 1,l2,l3,ln 与 l 共面分析：证明多条直线（三条或三条以上）共面，先由两条确定一个平面，再证其它直线在这个平面内，或者分别由两条直线确定几个平面，再证这些平面重合证法一：因为 l1l=A1,所以 l1 与 l 确定平面 ，设 lk 是与 l1 平行的直线中的任一条直线，且 lk l=Ak,则 ,Ak,lkl 1,设 lk 与 l1 确定平面 ，则 1l,Ak ,因此 l1 与 Ak 既在平面 内又在平面内，根据公理的推论 1 知过 l1 和其外一点的平面有且只有一个，所以 和 重合，从而由
22、lk 的任意性知 l1,l2,l3,ln 共面证法二： l1l 2,l1l 3 直线 l1 和 l2 及直线 l1 和 l3 分别确定一个平面 和l1l=A1, l2 l=A2, l3 l=A3, A1,A2 ,A2,A3 ,l,且 l , 和 都是过相交直线 l1 和 l 的平面，而过两相交直线的平面有且只有一个l1,l2,l3,l 共面，同理可证 l4,l5,ln 都在由直线 l1 和 l 所确定的平面内PG HFE DCBA例 3 如图，已知四边形 ABCD 中，ABCD，四条边 AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面 相交于 E，F，G，H 四点，求证：四点 E，F，G ，H
23、共线证明： ABCD，AB，CD 确定一个平面 ，易知 AB，BC，DC，AD 都在 内，由平面的性质可知四点E，F， G，H 都在 上，因而，E，G，G，H 必都在平面 与 的交线上，所以四点 E，F，G，H 共线例 4 如图，在一封闭的正方体容器内装满水， M，N 分别是 AA1 与 C1D1 的中点，由于某种原因，在 D，M，N 三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？解：使过三点 M，N，D 的平面成为水平面时， 容器内存水最多，至于水表面的形状，实质上就是过 M，N，D 三点所作正方体的截面的形状连结 DM 并延长 DM 交 D1A1
24、 的延长线于 P，则点 P 既在截面内又在底面 A1B1C1D1 内，连结 PN 交 A1B1 于 E，连 ME，ND，则过 M，N，D 的截面就是四边形 DMEN，易证 MEDN 且 MEDN，因而它是一个梯形小结：1 证明“线共点”的方法，一般是先证两条直线相交于一点，然后再证其它的直线过这一点2 证明“线共面”的问题，一般先由公理 3 或推论确定一个平面，再证明其它的直线在这个平面内3 证明“点共线”的方法，一般都是通过证这些点在某两个平面的交线上来解决4 作几何体的截面图时，常利用平面的性质，设法确定所作截面上的关键点，从而确定截面图形学生练习 1 将命题“Pl ,Ql ,且 P，Q
25、l”用文字语言表述是 2 若平面 平面 =直线 l，点 A，A 则点 l ,其理由是 3 下列命题中正确的是（ ）A 空间不同的三点确定一个平面 B 空间两两相交的三条直线确定一个平面C 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内4 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一底角为 45，腰和上底的长均为 1 的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）A2+ 2 B1+ C 2 D 215E、F、 G、H 是三棱锥 A-BCD 的棱 AB、AD、CD、CB 上的点，延长 EF、HG 交于 P 点，则点 P（ ）G HFEDCBAP NMED1 C1B1A
26、1D CBAA 一定在直线 AC 上 B 一定在直线 BD 上C 只在平 BCD 内 D 只在平面 ABD 内6 空间三条直线中的一条直线与其它两条都相交，那么由这三条直线最多可确定平面的个数是（ ）个A1 B 2 C 3 D 4 7 用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ ）A 三 B 四 C 六 D 八 8“直线上有一点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分又不必要条件9 已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 10 下列说法正确的是 空间四边形的对角线一定不相交 1四个角都是直角的四边形一定是平面图形 2两两相交的三条直线一定共面 3在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面 411 已知直线 c 和 d 与异面直线 a,b 都相交，则由直线 c,d 可确定的平面的个数为 12 不重合的三个平面把空间分成 n 个部分（不包括平面本身）则 n 的可能值是 13 已知不共面的三条直线 a,b,c 两两相交，求证：这三条直线交于一点14 已知 A,B,C 是空间不共线的三点，画直线 AB,BC,CA 设 X,Y,Z 分别表示直线 BC,CA,AB上的任意一点，试问直线 AX,BY,CZ 是否共面？并证明你的结论课前后备注
