1、明目标、知重点1了解导数在解决实际问题中的作用2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值 3解决优化问题的基本思路是：优 化 问 题 用 函 数 表 示 的 数 学 问 题优 化 问 题 的 答 案 用 导 数 解 决 数 学 问 题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.情境导学生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小) 值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题探究点一
2、 面积、体积的最值问题思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？答 (1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量 y 与自变量 x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式 yf(x )(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案例 1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128 dm2，上、下两边各空 2 dm，左、右两边各空 1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积
3、最小？解 设版心的高为 x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为128xS(x)(x 4) 128(128x 2)2x 8，x 0.512x求导数，得S(x)2 .512x2令 S(x) 2 0，解得 x16( x16 舍去) 512x2于是宽为 8.128x 12816当 x(0,16)时，S(x)0.因此，x16 是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时，能使海报四周空白面积最小反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的(2)在列函数关系
4、式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域跟踪训练 1 如图所示，某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_米答案 32,16解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为 x 米，则长为 米，512x因此新墙壁总长度 L2x (x0)，则 L2 .512x 512x2令 L0，得 x16.x0，x16.当 x16 时，Lmin64，此时堆料场的长为 32(米) 51216探究点二 利润最大问题例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 0.8r2 分
5、，其中 r(单位：cm)是瓶子的半径已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解 由于瓶子的半径为 r，所以每瓶饮料的利润是yf(r) 0.2 r30.8r 2430.8 ，00.因此，当半径 r2 时，f( r)0，它表示 f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径 r0)，则 y1kv 2，当 v12 时，y 1 720，720k12 2，得 k5.设全程燃料费为 y，由题意，得yy 1 ，200v 8 1 000v2v 8y2 000vv 8 1 00
6、0v2v 82 .1 000v2 16 000vv 82令 y0，得 v16，当 v016，即 v16 km/h 时全程燃料费最省，y min32 000(元) ；当 v00)已知贷款的利率为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为 x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则 x 的取值为( )A0.016 2 B0.032 4C0.024 3 D0.048 6答案 B解析 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得的贷款利息是 0.048 6kx2，其中 x(0,0.048 6)所以银行的收益是 y0.048 6kx 2kx 3(00；当
7、0.032 40，h( x)是增函数，所以当 x80 时，h( x)取得极小值 h(80)11.25(升)因为 h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答 汽车以 80 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升呈重点、现规律正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、基础过关1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：) 为 f(x) x3x 2 8(0x5)，那么，原
8、油温度的瞬时变化率的最小值是( )13A8 B. C1 D8203答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为 f(x)x 22x(x1) 2 1(0x5)，所以当 x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V，那么其表面积最小时底面边长为( )A. B. C. D23V 32V 34V 3V答案 C解析 设底面边长为 x，则表面积 S x2 V(x0)32 43xS (x3 4V)3x2令 S0，得 x .34V3如果圆柱轴截面的周长 l 为定值，则体积的最大值为( )A. 3 B. 3(l6) (l3)C. 3 D. 3(l4) 14(l4)答案 A解析 设
9、圆柱的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，则 4r2hl，h ，l 4r2Vr 2h r22 r3 .l2 (00，l6r 是其唯一的极值点l6当 r 时，V 取得最大值，最大值为 3.l6 (l6)4用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )A120 000 cm 3 B128 000 cm 3C150 000 cm 3 D158 000 cm 3答案 B解析 设水箱底边长为 x cm，则水箱高 h60 (cm)x2水箱容积 VV( x)x 2h60x 2 (cm3)(00)为比例系数kab
10、依题意，即所求的 a，b 值使 y 值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)得b (020，y25.两栏面积之和为 2(x20) 18 000，y 252由此得 y 25.18 000x 20广告的面积 Sxyx( 25) 25x.18 000x 20 18 000xx 20S 25 25.18 000x 20 xx 202 360 000x 202令 S0 得 x140，令 S0 得 20x140.函数在(140，)上单调递增，在(20,140)上单调递减，S(x)的最小值为 S(140)当 x140 时，y 175.即当 x140，y 175 时，S 取得最小值 24 500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，x
