1、2.2 等差数列（二）一、教学目标1、掌握判断数列是否为等差数列常用的方法；2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用二、教学重点、难点重点：等差数列的通项公式、性质及应用难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题三、教学过程（一） 、复习1等差数列的定义2等差数列的通项公式： dnan)1( nadm)(或 na=pn+q (p、q 是常数)3有几种方法可以计算公差 d: d= n 1 d= 1n d= mn4. an是首项 a1=1, 公差 d=3 的等差数列, 若 an =2005,则 n =( ) A. 667 B. 668
2、 C. 669 D. 6705. 在 3 与 27 之间插入 7 个数, 使它们成为等差数列,则插入的 7 个数的第四个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 二、新课1性质：在等差数列a n中,若 m + n=p + q, 则 am + an = ap + aq 特别地,若 m+n=2p, 则 am+an=2ap例 1. 在等差数列a n中(1) 若 a5=a, a10=b, 求 a15;(2) 若 a3+a8=m, 求 a5+a6;(3) 若 a5=6, a8=15, 求 a14;(4) 若 a1+a2+a5=30, a6+a7+a10=80,求 a11+a12+a15.
3、解: (1) 2a 10=a5+a15,即 2b=a+a15 , a 15=2ba;(2) 5+6=3+8=11,a 5+a6=a3+a=m(3) a8=a5+(83)d, 即 15=6+3d, d=3，从而 a14=a5+(14-5)d=6+93=33 .13082)( )(2 2)( ,17,16)4 510761512 1076526 aa a 从2判断数列是否为等差数列的常用方法：（1） 定义法: 证明 an-an-1=d (常数)例 2. 已知数列a n的前 n 项和为 Sn=3n2-2n, 求证数列a n成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.解: 当 n=1 时,a 1=S1=3
4、2=1;当 n2 时,a n=SnS n1 =3n22n 3(n1) 22(n1)=6n5;n=1 时 a1满足 an=6n5,a n=6n5首项 a1=1,ana n1 =6(常数)数列a n成等差数列且公差为 6.（2）中项法: 利用中项公式, 若 2b=a+c,则 a, b, c 成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数.例 3. 已知数列 na的通项公式为 ,qpan其中 p、q 为常数，且 p0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定 n是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1na（n1）是不是一个与 n 无关的常数。解：取数列 n中的任意
5、相邻两项 1na与 （n1） ，求差得 pqpnqpqa ()(1它是一个与 n 无关的数.所以 是等差数列。课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项 pdqpa公 差,1。由此我们可以知道对于通项公式是形如qpna的数列，一定是等差数列，一次项系数 p 就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数 n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。探究引导学生动手画图研究完成以下探究：在直角坐标系中，画出通项公式为 53an的数列的图象。这个图象有什么特点？在同一个直角坐标系中，画出函数 y=3x-5 的图象，你发现了什么？据此说一说等差数
6、列qpna与一次函数 y=px+q 的图象之间有什么关系。分析：n 为正整数，当 n 取 1，2，3，时，对应的 na可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；画出函数 y=3x-5 的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当 x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列qpna的图象是一次函数 y=px+q 的图象的一个子集，是 y=px+q 定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列 qpna中的 p 的几何意义去探究。三、课堂小结： 1. 等差数列的性质； 2. 判断数列是否为等差数列常用的方法四、课外作业1.阅读教材第 110114 页； 2.教材第 39 页练习第 4、5 题
