1、第三章 空间向量与立体几何一、选择题1下列各组向量中不平行的是（ ）A B)4,2(),(ba )0,3(),01(dcC D032fe 421652hg2已知点 ，则点 关于 轴对称的点的坐标为（ ）(,1)AxA B C D4,)4,),13(),(3若向量 ，且 与 的夹角余弦为 ，则 等于（ ）2(),(baab98A B 2C 或 D 或554若 A ，B ，C ，则ABC 的形状是（ ）)1,()3,24()4,16(A不等边锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形5若 A ，B ，当 取最小值时， 的值等于（ ）),(x),(xBAxA B C D19781496空间
2、四边形 中， ， ，O3OC则 的值是（ ）cos,A B C D212210二、填空题1若向量 ，则 _。),36(),4(ba(3)(2abA2若向量 ，则这两个向量的位置关系是_。,9,2kjikji 3已知向量 ，若 ，则 _；若 则),24(),31(xbaabx/ab_。x4已知向量 若 则实数,3,5krjibkjima/ab_， _。r5若 ，且 ，则 与 的夹角为(3)ab)57(4)ab)57(ab_。6若 ， ， 是平面 内的三点，设平面 的法向量19(0,2)8A5(,)8B(2,1)C，则 _。zyxazy:7已知空间四边形 ，点 分别为 的中点，且OABC,MN,O
3、ABC，用 ， ， 表示 ，则 =_。cbaA, abcNM8已知正方体 的棱长是 ，则直线 与 间的距离为 。1BCDA11DAC空间向量与立体几何解答题精选（选修 2-1）1已知四棱锥 的底面为直角梯形， ，PABCD/ABDC底面 ，且 ，D,90 12P， 是 的中点。ABM（）证明：面 面 ；（）求 与 所成的角；（）求面 与面 所成二面角的大小。CB证明：以 为坐标原点 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为AD.1(0,)(,20)(1,)(,0)(,)(0,)2PM（）证明：因 .,0),01(),0( DCAPDCAPDCAP所 以故由题设知 ，且 与 是平面 内
4、的两条相交直线，由此得 面.又 在面 上，故面 面 .PDC（）解：因 ),2(),1(B.50|,cos|2|PAC所 以故（）解：在 上取一点 ，则存在 使M(,)Nxyz,R,MCN.211201),1,( zyzyxNC要使 40,5ACxzA只 需 即 解 得 0),521(),521(, .,4MCBNBNA有此 时 能 使点 坐 标 为时可 知 当 为ANBMCAN 所 以得由 .,0,0所求二面角的平面角. 34|,|,.552cos(,).3|arcos().BANBAN故 所 求 的 二 面 角 为2如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形,VABCDABVAD
5、平面 底面 （）证明： 平面 ；（）求面 与面 所成的二面角的大小证明：以 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.（）证明：不防设作 ，(1,0)A则 ， ， (1,0)B23,V),01(),(A由 得 ，又 ，因而 与平面 内两条相交直线,0VABVABDABVD， 都垂直. 平面 .D（）解：设 为 中点，则 ，E)43,01(E).2,(),43(),0,43( DVBA由 .,EADVE 又得因此， 是所求二面角的平面角，,721|),cos(BA解得所求二面角的大小为 .arcos3如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，PCDA侧棱 底面 ， ， ， ， A312P为 的中点.E（）求直
6、线 与 所成角的余弦值；B（）在侧面 内找一点 ，使 面 ，NEC并求出点 到 和 的距离.A解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 的坐标为 、,ACDPE(0,)、 、 、(3,0)B(3,1),、 ，2从而 ).2,0(),(PBAC设 的夹角为 ，则与 ,14732|cosPBA 与 所成角的余弦值为 .C（）由于 点在侧面 内，故可设 点坐标为 ，则NN(,0)xzD CBAV，由 面 可得，)1,2(zxNENEPAC .0213,.0),13(,(2.0, xzzxACP化 简 得即 163zx即 点的坐标为 ，从而 点到 和 的距离分别为 .N),63NABP3,64如图所示
7、的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到的，其中CD1ECF.1,2,3,ABCBE（）求 的长；F（）求点 到平面 的距离.1A解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，(0,)D(2,40)B设 .1(2,0)(,4)(2,)(0,43)ACECFz 为平行四边形，1F.62,62|).4(,0. ),0(,(1的 长 为即于 是 得由 为 平 行 四 边 形由 BFEFzzA（II）设 为平面 的法向量，1n1AEC)1,(,1yxnD故 可 设不 垂 直 于 平 面显 然 02240,1 yxAFn得由.41,0214yxxy即的夹角为 ，则11),3(nC与设又 .346
8、|cos1 到平面 的距离为C1AEF.1343cos|1d5如图，在长方体 ，中， ，点 在棱 上移BDC1,2ADBEAD动.（1）证明： ；1EA（2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离；E1（3） 等于何值时，二面角 的大小为 .1DC4解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设D1,DAC,xyz，则AEx11(,0)()(,0)()(02,)EC（1） ., 1EDAx所 以因 为（2）因为 为 的中点，则 ，从而 ，B(0) )0,21(),(1，设平面 的法向量为 ，则)1,0(1AD1ACD,cban,1AnC也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离2
9、cabcab2)2,1(ED为 .312|1nEDh（3）设平面 的法向量 ，1C),(cban,10),120(),2,( DxE由 令 ， .)(,1xbacn ,2,bcax ).2(x依题意 .25)(2|4cos 21 xDn （不合，舍去） ， .321x 3 时，二面角 的大小为 .AE1EC46如图，在三棱柱 中， 侧面 ， 为棱 上异于 的一BAB1E1C1,点， ，已知 ，求：112,3（）异面直线 与 的距离；E（）二面角 的平面角的正切值.1AB解：（I）以 为原点， 、 分别为 轴建立空间直角坐标系.A,yz由于， 112,3CB在三棱柱 中有AB,1(0,)(,2)
10、,(0) )0,2(),02,(1C设 即得由 ,),3( 11EBAEa)0,23(),2(0a,432)(43aa .,043)023()0,213( ),21(),(, 11 EBEB 即故舍 去或即得又 侧面 ，故 . 因此 是异面直线 的公垂线，A1CABE,A则 ，故异面直线 的距离为 .43|1,（II）由已知有 故二面角 的平面角 的大小为向,11EBAE1AEB量 的夹角.AB与1.2tan,32|cos ),2,(),0,(11 即故因 ABE7如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， 是PCDBPDABCE上AB一点， . 已知FE,21,2AE求（）异面直线 与 的
11、距离；（）二面角 的大小.解：（）以 为原点， 、 、 分别为DCDP轴建立空间直角坐标系.,xyz由已知可得 (0,)(,2),(0,)P设 ,xBA则由 ，).,23(),21,()21( CEEx 0CEPE得即 由 ，.3,043x故 DD 得),23(0,1又 ，故 是异面直线 与 的公垂线，易得 ，故异面直线PDEPE1|E, 的距离为 .PDCE1（）作 ，可设 .由 得G(0,)yz0PCDG0)2,(),zy即 作 于 ，设 ，2,2yz故 可 取 EFFmn则 ).,1,3(nmEF由 ，021,0)2,(),2,(0 nPC即得又由 在 上得F ).,3(,1,EFnmn
12、故因 故 的平面角 的大小为向量 的夹角.,PCDGEEDDG与第三章 空间向量 一、选择题1D 而零向量与任何向量都平行2/;3/;babdc2A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变3C 2682cos, ,955A或4A ， ，得 为锐角；(3,42)(,13)(,1)BCB0ABCA，得 为锐角； ，得 为锐角；所以为锐角三角形00A5C 222(1,),()(3)()xxx，当 时， 取最小值243987xB6D coscos()33cos, 0OACAOBOABC二、填空题1 ，23(10,4)ab2(16,40)ab2垂直 ,)9,A3 若 ，则 ；若 ，则0,683x/:(4)1:2,64 15,511(,51)(3,),5mambrrr5 022222760,70,493,495abababAAAA得23535,cos, 149ab 6 :()77(1,3),(2,1),0,44ABACABC2,:():3()3xyzyz7 1()2bca1()2MNObca8 31 10,(1,)(0,),(,0)(,)ACDACDA设 1(,xyzxyzyt令则 ，而另可设)MNt(0)()(,)MmNabmab，1,(02,),3matttb 113(,)39MN
