1、 1 合情推理的妙用合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助一、归纳推理的考查1数字规律周期性归纳例 1 观察下列各式：5 53 125,5615 625,5778 125，则 52 013 的末四位数字为_解析 5 53 125,5 615 625,5 778 125，58 末四位数字为 0625,59 末四位数字为 3125,510 末四位数字为 5625,511 末四位数字为8125,512 末四位数字为 0625，由上可得末四位数字周期
2、为 4，呈规律性交替出现，5 2 0135 45025 末四位数字为 3125.答案 3125点评 对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性2代数式形式归纳例 2 设函数 f(x) (x0)，观察：xx 2f1(x)f (x) ，xx 2f2(x)f (f1(x) ，x3x 4f3(x)f (f2(x) ，x7x 8f4(x)f (f3(x) ，x15x 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN *且 n2 时，f n(x)f(f n1 (x)_.解析 依题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由
3、 1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为 an2 n1.又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16，故其通项公式为 bn2 n.所以当 n2 时，f n(x)f(f n1 (x) .x2n 1x 2n答案 x2n 1x 2n点评 对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯3图表信息归纳例 3 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是_289 1
4、 024 1 225 1 378分析 将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项解析 设图(1)中数列 1,3,6,10，的通项公式为 an，其解法如下：a 2a 12，a 3a 23，a 4a 34，a na n1 n.故 ana 1234n，a n .nn 12而图(2)中数列的通项公式为 bnn 2，因此所给的选项中只有 1 225 满足a49 b 3535 21 225.49502答案 点评 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系
5、或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前 n 项和等二、类比推理的考查1类比定义在求解类比某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解例 1 等和数列的定义是：若数列a n从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和如果数列a n是等和数列，且a11，a 23，则数列a n的一个通项公式是_解析 由定义，知公和为 4，且 ana n1 4，那么an2(a n1 2)，于是 an2(1) n1 (a12)因为 a11，得 an2(1) n即为数列的一个通项公式答案 a n2(1) n点评 解题的前提是正确理
6、解等和数列的定义，将问题转化为一个等比数列来求解2类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键例 2 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件_；充要条件_.解析 类比平行四边形的两组对边分别平行可得，两组相对侧面互相平行是一个四棱柱为平行六面体的充要条件类比平行四边形的两组对边分别相等可得，两组相对侧面分别全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件类比平行四边形的一组对边平行且相等可得，一组相对侧面平行且全
7、等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件类比平行四边形的对角线互相平分可得，主对角线互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件类比平行四边形的对角线互相平分可得，对角面互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件点评 由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性3类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移例 3 已知数列a n的前 n 项的乘积 Tn3 n1，则其通项公式 an_.解析 类比数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系 anS nS n1 (n2) ，得到数列前 n(n2)项的乘积 Tn与通项 an的关系注意对
8、n1 的情况单独研究当 n1 时，a 1T 13 114.当 n2 时，a n ，a 1 不适合上式，TnTn 1 3n 13n 1 1所以通项公式 anError!.答案 Error!.2 各有特长的综合法与分析法做任何事情都要讲究方法，方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半解答数学问题，关键在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案证明数学问题的方法很多，其中综合法与分析法是最常见、使用频率最高的方法综合法是从已知条件出发，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果，即从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” ，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；分析法则是从待证结论出发，一步步地
9、寻求使其成立的条件，直至寻求到已知条件或公理、定义、定理等，即从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理实际上是寻找它的充分条件综合法表现为“由因导果” ，分析法表现为“执果索因” ，它们的应用十分广泛要证明一个命题正确，我们可以从已知条件出发，通过一系列已确立的命题(如定义、定理等)，逐步向后推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法就叫做综合法，可简单地概括为“由因导果” ，即“由原因去推导结果” 要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已
10、知的事实，这种思维方法就叫做分析法，可简单地概括为“执果索因” ，即“拿着结果去寻找原因” 例 1 已知 abc，求证： 0.1a b 1b c 4c a分析 首先使用分析法寻找证明思路证法一 (分析法)要证原不等式成立，只需证 .1a b 1b c 4a c通分，得 ，即证 .b c a ba bb c 4a c a ca bb c 4a c因为 abc，所以 ab0，bc0，ac0.只需证(ac) 24(ab)(bc)成立由上面思路可得如下证题过程证法二 (综合法)abc，ab0，bc0，ac0.4(ab)(bc)(ab)(bc) 2(ac) 2. ，a ca bb c 4a c即 0.b
11、 c a ba bb c 4a c 0.1a b 1b c 4c a从例题不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法“执果索因” ，常常根底渐近，有希望成功；综合法“由因导果” ，往往枝节横生，不容易奏效从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达因此，在实际解题时，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的，两者结合，互相弥补才是应该提倡的；先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程最后，提醒一下，对于一些较复杂的问题，不论是从“已知”推向“未知” ，还是由“未知”靠拢“已知” ，都是一个比较长
12、的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标的“两头凑”的方法去寻求证明途径：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证明途径例 2 设 f(x)ax 2bx c (a0)，若函数 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称求证：f (x )12为偶函数证明 方法一 要证 f(x )为偶函数，只需证 f(x )的对称轴为 x0，12 12只需证 0，只需证 ab.b2a 12因为函数 f(x
13、 1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，即 x 1 与 x 关于 y 轴对称，b2a b2a所以 1 ，b2a b2a所以 ab，所以 f(x )为偶函数12方法二 要证 f(x )是偶函数，12只需证 f(x )f(x )12 12因为 f(x1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，而 f(x)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以 f(x) f(x 1)，f(x )f(x )f(x )1)12 12 12f(x )，12所以 f(x )是偶函数12点评 本题前半部分是用分析法证明，但寻找的充分条件不是显然成立的，可再用综合法证明，这种处理方法在推理证明中是常用的.3 体验反证法的独到之
14、处反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处下面举例分析用反证法证明问题的几个类型：1证明否定性问题例 1 平面内有四个点，任意三点不共线证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形分析 假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成一个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与一些已知结论对照即得矛盾解 假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为 A，B，C，D.考虑ABC，则点 D 有两种情况：在ABC 内部和外部(1)如果点 D 在
15、ABC 内部(如图 (1)，根据假设知围绕点 D 的三个角ADB，ADC，BDC 都小于 90，其和小于 270，这与一个周角等于 360矛盾(2)如果点 D 在 ABC 外部(如图 (2)，根据假设知BAD， ABC ，BCD，ADC 都小于90，即四边形 ABCD 的内角和小于 360，这与四边形内角和等于 360矛盾综上所述，可知假设错误，题中结论成立点评 结论本身是否定形式、唯一性或存在性命题时，常用反证法2证明“至多” “至少” “唯一” “仅仅”等问题例 2 A 是定义在2,4上且满足如下两个条件的函数 (x)组成的集合：对任意的 x1,2，都有 (2x)(1,2)；存在常数 L(
16、01.这与题设中 00，abbcca 0，abc 0.求证：a0，b0，c0.分析 若从正面证明，比较复杂，需要考虑的方面比较多，故采用反证法来证明证明 假设 a0，知 bc0，知 bc a0，于是 abbccaa(bc )bc0 矛盾故 a0.同理可证 b0，c0.小结 至于什么情况下用反证法，应依问题的具体情况而定，切忌滥用反证法一般说来，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法运用反证法证题时，还应注意以下三点：1必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；2推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的；3在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确
17、，毫不含糊另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式.关键词 否定是 不是都是 不都是等于() 不等于()大于() 不大于()小于(1 2 k 1 ，12 13 12k 12k 1 12k 2 12k 1 k2 12k 1 k 121 k2 k (k1)12 13 12k 12k 1 12k 2 12k 112 12k 12这就是说，当 nk1 时不等式成立根据(1)和(2)，知对任意正整数 n，不等式均成立2配凑后运用例 2 已知 f(n)1 ，求证：nf(1) f(n1)nf(n)(n2，且 n 是正整12 13 1n数)证明 (1)当 n2 时，左边2f(1)213，右边2f(2)2 3，等式成立(1 12)(2)假设当 nk(k2，kN *)时，等式成立，即 kf(1)f(k1)kf(k)那么，当 nk1 时，(k1)f(1) f( k1)f(k)1f(k) kf(k)
