1、明目标、知重点 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1数学归纳法(1)如果当 n 取第一个值 n0(例如 n01,2 等)时结论正确；(2)假设当 nk(kN * ，且 kn 0)时结论正确，证明当 nk 1 时结论也正确那么，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立2应用数学归纳法时应注意几点(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n 有关的数学命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可(3) 步骤的证明必须以 “假设当 nk(kn 0，kN *)时结论成立”为条件情境导学多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间
2、距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一 数学归纳法的原理思考 1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下结论：多米诺骨牌会全部倒下所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础思考 2 对于数列a n，已知 a11，a n1 ，试写出
3、 a1，a 2，a 3，a 4，并由此作出猜an1 an想请问这个结论正确吗？怎样证明？答 a 11，a 2 ，a 3 ，a 4 ，12 13 14猜想 an (nN *)1n以下为证明过程：(1)当 n1 时，a 11 ，所以结论成立11(2)假设当 nk(kN *)时，结论成立，即 ak ，1k则当 nk1 时 ak1 (已知)ak1 ak (代入假设)1k1 1k (变形)1kk 1k (目标) ，1k 1即当 nk1 时，结论也成立由(1)(2)可得，对任意的正整数 n 都有 an 成立1n思考 3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题 P(
4、n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基 )证明当 n 取第一个值 n0(n0N *)时命题成立；(2)(归纳递推 )假设当 nk( kn 0，kN *)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立上述证明方法叫做数学归纳法思考 4 用数学归纳法证明 135(2n1) n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正证明：(1)n1 时，左边1，右边1 21，等式成立(2)假设 nk 时等式成立，即 135(2k1)k 2，则当 nk1 时，135(2k1) ( k1) 2 等式也成立k 11 2k 12由(1)和(2)可知对任
5、何 nN *等式都成立答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明 nk1 正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式探究点二 用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明122 2n 2 (nN *)nn 12n 16证明 (1)当 n1 时，左边1 21，右边 1，11 121 16等式成立(2)假设当 nk(kN *)时等式成立，即122 2k 2 ，kk 12k 16那么，1 22 2k 2( k1) 2 ( k1) 2kk 12k 16kk 12k 1 6k 126k 12k2 7k 66k 1k 22k
6、 36 ，k 1k 1 12k 1 16即当 nk1 时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何 nN *都成立反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项” ，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关由 nk到 nk1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项跟踪训练 1 求证：1 (nN *)12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n证明 当 n1 时，左边1 ，12 12右边 ，12所以等式成立假设 nk(kN *)时，1 12 13 14 12k 1 12k 成立1k 1 1k 2 12k那么当
7、nk1 时，1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 1 12k 1 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 1 1k 2 1k 3 12k 12k 1 1k 1 12k 1 ，1k 1 1 1k 1 2 1k 1 k 12k 1所以 nk1 时，等式也成立综上所述，对于任何 nN *，等式都成立探究点三 用数学归纳法证明数列问题例 2 已知数列 ， ， ， ，计算 S1，S 2，S 3，S 4，114 147 1710 13n 23n 1根据计算结果，猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解 S 1 ；114 14S2 ；14 147 27S3 ；27 1710 31
8、0S4 .310 11013 413可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数 n 一致，分母可用项数 n 表示为3n1.于是可以猜想 Sn .n3n 1下面我们用数学归纳法证明这个猜想(1)当 n1 时，左边S 1 ，14右边 ，n3n 1 131 1 14猜想成立(2)假设当 nk(kN *)时猜想成立，即 ，114 147 1710 13k 23k 1 k3k 1那么， 114 147 1710 13k 23k 1 13k 1 23k 1 1 k3k 1 13k 13k 43k2 4k 13k 13k 43k 1k 13k 13k 4 ，k 13k 1 1所以，当 nk1 时猜想也成
9、立根据(1)和(2)，可知猜想对任何 nN *都成立反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳猜想证明”的基本思想跟踪训练 2 数列a n满足 Sn2na n(Sn为数列 an的前 n 项和) ，先计算数列的前 4 项，再猜想 an，并证明解 由 a12a 1，得 a11；由 a1a 222a 2，得 a2 ；32由 a1a 2a 323a 3，得 a3 ；74由 a1a 2a 3a 424a 4，得 a4 .158猜想 an .2n 12n 1下面证明猜想正确：(
10、1)当 n1 时，由上面的计算可知猜想成立(2)假设当 nk 时猜想成立，则有 ak ，2k 12k 1当 nk1 时，S ka k1 2(k1)a k1 ，a k1 2(k 1)S k12k1 (2k )12 2k 12k 1 ，2k 1 12k 1 1所以，当 nk1 时，等式也成立由(1)和(2)可知，a n 对任意正整数 n 都成立2n 12n 11若命题 A(n)(nN *)在 n k(kN *)时命题成立，则有 nk 1 时命题成立现知命题对nn 0(n0N *)时命题成立，则下列说法正确的是_命题对所有正整数都成立；命题对小于 n0 的正整数不成立，对大于或等于 n0 的正整数都
11、成立；命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0 的正整数都成立答案 解析 由已知得 nn 0(n0N *)时命题成立，则有 nn 01 时命题成立；在 nn 01 时命题成立的前提下，又可推得 n(n 01) 1 时命题也成立，依此类推，可知 正确2用数学归纳法证明“1aa 2a 2n1 (a1) ”在验证 n1 时，左端1 a2n 21 a计算所得项为_答案 1aa 2a 33用数学归纳法证明 122 22 n1 2 n1(nN *)的过程如下：(1)当 n1 时，左边1，右边2 111，等式成立(2)假设当 nk(kN *)时等式成立，即 122 22 k1 2 k1
12、，则当 nk1 时，122 22 k1 2 k 2 k1 1.所以当 n k1 时等式也成立由此可知对1 2k 11 2于任何 nN *，等式都成立上述证明的错误是_答案 未用归纳假设解析 本题在由 nk 成立，证 nk1 成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符4用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式(1 )(1 )(1 )13 15 12n 1均成立2n 12证明 (1)当 n2 时，左边1 ；右边 .13 43 52左边右边，不等式成立(2)假设 nk(k2，且 kN *)时不等式成立，即(1 )(1 )(1 ) .13 15 12k 1
13、2k 12则当 nk1 时，(1 )(1 )(1 )1 13 15 12k 1 12k 1 1 2k 12 2k 22k 1 2k 222k 1 4k2 8k 422k 1 4k2 8k 322k 1 .2k 32k 122k 1 2k 1 12当 nk1 时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立呈重点、现规律在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1；(2)递推是关键：正确分析由 nk 到 nk1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一
14、定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1用数学归纳法证明：1 时，由 nk 到 nk1 左边需要添加的项11 2 11 2 3 11 2 3 n 2nn 1是_答案 11 2 3 k k 12一个与正整数 n 有关的命题，当 n2 时命题成立，且由 nk 时命题成立可以推得nk2 时命题也成立，则下列说法正确的是_该命题对于 n2 的自然数 n 都成立；该命题对于所有的正偶数都成立；该命题何时成立与 k 取值无关答案 解析 由 nk 时命题成立可以推出 nk2 时命题也成立且 n2，故对所有的正偶数都成立3在应用数学归纳法证明凸 n 边
15、形的对角线为 n(n3)条时，第一步验证 n_.12答案 3解析 因为是证凸 n 边形，所以应先验证三角形4若 f(n)1 (nN *)，则 n1 时 f(n)是_12 13 12n 1答案 1 12 135已知 f(n) ，则 f(n)共有_ 项，且 f(2)_.1n 1n 1 1n 2 1n2答案 n 2n1 12 13 14解析 观察分母的首项为 n，最后一项为 n2，公差为 1，项数为 n2n1.6在数列a n中，a 12，a n1 (nN *)，依次计算 a2，a 3，a 4，归纳推测出 an的an3an 1通项 an_.答案 26n 5解析 a 12，a 2 ，a 3 ，a 4 ，
16、27 213 219可推测 an .26n 57用数学归纳法证明(1 )(1 )(1 )(1 ) (nN *)13 14 15 1n 2 2n 2证明 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 ，等式成立13 23 21 2 23(2)假设当 nk(k1，kN *)时等式成立，即(1 )(1 )(1 )(1 ) ，13 14 15 1k 2 2k 2当 nk1 时，(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )13 14 15 1k 2 1k 3 (1 ) ，2k 2 1k 3 2k 2k 2k 3 2k 3所以当 nk1 时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意 nN *等式都成立二、能力提升8用数学归
17、纳法证明等式(n 1)( n2)(nn) 2 n13(2n1)(nN *)，从 k 到 k1 左端需要增乘的代数式为_答案 2(2k1)解析 nk1 时，左端为(k2)(k3)(k 1)(k1) (k1)k(2 k2)(k 1)(k2)(kk)(2k1)2，应增乘 2(2k1)9.已知 f(n) (nN *)，则 f(k1) _.1n 1 1n 2 13n 1答案 f(k) 13k 13k 1 13k 2 1k 110证明：假设当 nk( kN *)时等式成立，即 242kk 2k，那么242k2( k1)k 2k2(k1)( k1) 2(k1)，即当 nk1 时等式也成立因此对于任何 nN
18、*等式都成立以上用数学归纳法证明“242nn 2n(nN *)”的过程中的错误为_答案 缺少步骤归纳奠基11用数学归纳法证明 122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 .nn 12证明 (1)当 n1 时，左边1，右边(1) 11 1，122结论成立(2)假设当 nk 时，结论成立即 122 23 24 2(1) k1 k2(1) k1 ，kk 12那么当 nk1 时，122 23 24 2(1) k1 k2(1) k(k1) 2(1) k1 ( 1) k(k1) 2kk 12(1) k(k1) k 2k 22(1) k .k 1k 22即 nk1 时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立12.已知数列a n的第一项 a15 且 Sn1 a n(n2，nN *)，S n为数列 an的前 n 项和(1)求 a2，a 3，a 4，并由此猜想 an的表达式；(2)用数学归纳法证明a n的通项公式(1)解 a 2S 1a 15，a 3S 2a 1a 210，a4S 3a 1a 2a 3551020，猜想 anError!.(2)证明 当 n2 时，a 252 22 5，公式成立假设 nk(k2，k N *)时成立，即 ak5 2k2 ，当 nk1 时，由已知条件和假设有
