1、3.6 位似3.6.1 位似（一）教学目的经历位似变换、位似的图形抽象得到定义的过程掌握位似变换和位似图形的性质教学重点位似变换的定义和位似图形的性质教学难点 位似变换的理解及作图教学过程一、观察投影，抽象得出位似变换、位似的图形的定义1、复习：我们目前为止，学过哪几种图形的变换？经过这几种变换后的图形与原图形之间的关系如何？2、抽象：定义：取定一点 O，把图形上任意一点 P 对应到射线 OP（或它的反向延长线）上一点 P，使得线段 OP与 OP 的比等于常数 k (k0) ,点 O 对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比 ，一个图形经过位似变换得到的图
2、形叫作与原图形位似的图形。从位似变换和位似的图形的定义可以得出：两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。思考：两个位似的图形的关系是怎样的呢？两个位似的图形是相似的。二、位似图形定义的理解1位似图形首先是相似图形2位似图形都有一个位似中心，它是所有对应点的连线都经过的那个点两个图形必须同时具备了这两点才是位似图形，缺一不可3位似中心的位置由两个位似图形的位置决定，可以在图形的中心、可以在两个图形中间、也可以在两个图形的同一侧，还可以在图形上如图 1 所示，图形（1）的位似中心是两个图形的中心，图（2）的位似中心在两个图形之
3、间，图（3）的位似中心在两个图形左侧位似比：当位似比 k1 时，一个图形被放大成原图形的倍；当位似比 k1 时，一个图形被缩小成原图形的 k 倍。同时，两个位似图形的周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方 （为什么）三、位似图形的解题方法1位似图形的辨析例 1 如图 2，指出下列图形中的两个图形是否是位似图形？如果是，指出位似中心解：（1）是位似图形，位似中心是 A；（2）是位似图形，位似中心是 P；（3）不是位似图形；（4）是位似图形，位似中心是 O来源:gkstk.Com方法说明：因为位似图形是特殊的相似图形，因而判断是不是位似图形，首先看图中的两个图形是否相似，再看对应点的连线是否
4、经过同一个点2位似图形的作图例 2 如图 3，已知五边形 ABCDE，以点 P 为位似中心，求作这个五边形的位似图形，使新图形与原图形的位似比为21解：（1）分别过五边形 ABCDE 的五个顶点作射线AP、BP、CP 、DP、EP；（2）在这些射线上依次截取PA12PA，PB 12PB ；PC 12PC，PD 12PD，PE 12 PE；（3）顺次连结 A1，B 1，C 1，D 1，E 1，所得图形就是符合要求的图形3位似图形的应用例 3 一般在室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映屏幕的规格为 2m2m，若放映机的光源距胶片 20cm，问屏幕应在离光源多远的地方，
5、放映的图像刚好布满整个屏幕？分析：胶片上的图形和银屏上的图形是位似图形，光源是位似中心，则可运用位似图形的知识来解答解：如图 4 所示，根据已知数据可知，位似比 设屏幕距离光源 xcm，203.57k根据位似图形的性质，可得 ，所以 420x80cm7x答：屏幕应在离光源 的地方，放映的图像刚好布满整个屏幕方法说明：在利用位似图形解决实际问题时，首先要将其抽象为位似模型，并在问题中找出位似中心，位似比等，再通过相应的计算进行解答四、小结1、取定一点 O，把图形上任意一点 P 对应到射线 OP（或它的反向延长线）上一点P，使得线段 OP与 OP 的比等于常数 k (k0) ,点 O 对应到它自身
6、，这种变换叫做位似变换，点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形。2、两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比。3、当位似比 k1 时，一个图形被放大成原图形的倍；当位似比 k1 时，一个图形被缩小成原图形的 k 倍。4、两个位似的图形是相似的。两个位似图形的周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方五、课外作业 来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网 gkstk3.6 位似（二）教学目的来源:学优高考网经历位似变换的作用过程，理解位似变换可以把一个图形放大或缩
7、小。了解位似变换与平移、反射、旋转等一样，研究的都是像与原图形之间的一种关系。教学重点 会将一个图形放大或缩小。教学难点利用位似变换解决实际问题教学过程1、复习：什么是位似变换？位似图形？它们有什么性质？2、例题解析：例 1.已知如图 1，在和树 AB 相距 18 米的地面上平放一面镜子 E，人退后到距镜子上2.1 米的 D 处，在镜子里恰好看见树顶，若人眼 C 距地 1.4 米（1）求树高；（2）ABE 和CDE 是位似图形吗？若是，请指出位似中心，若不是，请说明理由分析：这是一道与物理有关的综合题，要注意运用数学知识解决问题答案：（1）由光的反射规律知入射角等于反射角，可得出AEBCED，
8、又知ABECDE90，所以ABECDE所以ABCDEBCD， 12米， 即树高 12 米（2）ABE 与CDE 不是位似图形，因为位似图形的对应顶点的连线相交于一点，而点 A 与点 C 的连线没有交于点 E，所以它们不是位似图形方法提炼：正确理解光的反射规律，把实际问题转化为数学问题，使问题得到解决例 2.画一个三角形，使它与已知三角形相似，且原三角形与所画三角形的相似比为2：1分析：依题意，因为没有指明画法，所以有多种方法答案：解法一：平行线截取法（1）取 AB 的中点 D；（2）过点 D 作 DEBC 交 AC 于 E，则ADE 就是所求作的三角形，如图 2 所示解法二：在ABC 的外面作
9、平行线法（1）作线段 BC，使 BCBC 且 B/C/= BC；21（2）过点 B作 BA 的平行线 BA；（3）过点 C作 CA 的平行线与 BA交于点 A则ABC 就是所求的三角形，如图 3 所示解法三：位似图形法（1）在图形内取位似中心 O作射线 AO、BO、CO；在射线 AO、BO、CO 上分别截取点 A、B、C，使OA：OA OB：OB OC：OC2：1；连接 AB、BC 、CA，则A BC就是所求的三角形（2）在图形边上取位似中心 O连接 AO；在 AO、BO 、CO 上分别取 A、B、C，使 OA：OA OB：OB OC：OC2：1；连接 AB、AC 、B C，则A BC就是所求
10、的三角形（3）在图形外部取位似中心 O以点 O 为端点作射线 AO、BO、CO；分别在射线 AO、BO、CO 上截取 A、B、C，使 OA：OA OB：OB OC：OC2：1；连接 AB、BC 、A C，则A BC就是所求的三角形，方法提炼：上面的几种方法要根据题目要求进行选择，在题目要求不高的情况下，能简则简，力求避免不必要的繁琐例 3.已知：锐角ABC求作：内接矩形 DEFG，使 DE 在 BC 边上，点 G、F 分别在 AB、AC 边上，且 DE：GD2：1分析：求作的矩形要满足四个条件：（1）DE 在 BC 边上；（2）G 在 AB 边上；（3）F在 AC 边上；（4）DE：DG2：1
11、要同时满足这么多条件比较困难，不妨先放弃一个条件，比如放弃“F 在 AC 边上”这个条件，那样的矩形就比较好作如图中的 GDEF，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把 F 定在 AC 上答案：作法：（1）作矩形 GDEF，使 DE在 BC 上，G 在 AB 边上，且 DE：DG2：1；（2）连 BF，并延长交 AC 于 F；（3）过 F 作 FEBC 于 E，作 FGBC 交 AB 于 G；（4）过 G 作 GDBC 于 D；则四边形 DEFG 就是所求的矩形拓展延伸：定位作图的要求较高，要更灵活地运用相似的有关知识来源:学优高考网 gkstk3、学生练习：4、小结如何把一个图形放大或缩小？有几种画图的方法？5、课外作业
