1、232 离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。过程与方法：了解方差公式“ D(a +b)=a2D ”，以及“若 (n， p)，则 D =np(1p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪 。教学设想：了解方差公式“ D(a +b)=a2D ”，以及“若 (n， p)，则 D =np(1
2、p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。授课类型：新授课 课时安排：2 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：数 学 期 望 是 离 散 型 随 机 变 量 的 一 个 特 征 数 ， 它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 ，表 示 了 随 机 变 量 在 随 机 实 验 中 取 值 的 平 均 值 ， 所 以 又 常 称 为 随 机 变 量 的 平 均 数 、 均 值 今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据 ，
3、 ， ， 中，各数据与它们的1x2nx平均值 得差的平方分别是 ， ， ，那么x21)(x)(2)(12nS 21)(2)(n叫做这组数据的方差 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母 、 等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变量 都 是
4、用 变 量 表 示 随 机 试 验 的 结 果 ； 但 是 离 散 型 随 机 变 量 的 结 果 可 以 按 一 定 次 序 一 一列 出 ， 而 连 续 性 随 机 变 量 的 结 果 不 可 以 一 一 列 出5. 分布列: x1 x2 xi P P1 P2 Pi 6. 分布列的两个性质： Pi0， i1，2，； P1+P2+=17.二项分布: B(n， p)， 并 记 b(k； n， p)nkqC 0 1 k nP nqCn n 0qC8.几何分布： g(k， p)= ， 其 中 k0,1,2,， 1k pq1 1 2 3 k P q2p 19.数 学 期 望 : 一 般 地 ， 若
5、离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为 x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称 为 的 数 学 期 望 ， 简 称 期 望 E1px2n10. 数 学 期 望 是 离 散 型 随 机 变 量 的 一 个 特 征 数 ， 它 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水平 11 平 均 数 、 均 值 :在 有 限 取 值 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布 中 ，令 ，则有 ， ，所p2np12pn1E1(x2nx1)以 的 数 学 期 望 又 称 为 平 均 数 、 均 值 12. 期望的一个性质: baE)(13.若 B（n,p） ，则 E=
6、np 二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是 ，1x， ， ， ， 且 取 这 些 值 的 概 率 分 别 是 ， ， ， ， ， 那 么 ,2xn 1p2np D121)(pE22)(ExnEx)(称为随机变量 的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量 的期望2. 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量 的标准差，记作 D3.方差的性质：（1） ；（2） ；ab)(22)(E（3）若 B(n， p)， 则 np(1-p) 4.其它：随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的
7、稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛三、讲解范例：例 1随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数 X 的分布列为 1 2 3 4 5 6P 6161从而;123453.5EX2222111(.5)(.)(.)(4.)66663.3.5.9D.17X例 2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资 X1/元 1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率 P1 0.4 0.3 0.2 0.1乙单位不同职位月工资 X2/元 1000 1400 1800 2000获
8、得相应职位的概率 P2 0.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX1 = 12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 0. 4 + (1400-1400 ) 20.3 + (1600 -1400 )20.2+(1800-1400) 20. 1= 40 000 ; EX21 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400)20. 4+(1 400-14
9、00)0.3 + (1800-1400)20.2 + (2200-1400 )20.l = 160000 . 因为 EX1 =EX2, DX1DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位例 3设随机变量 的分布列为 1 2 nP n1n1 n1求 D解：（略） , 2nE2-D1例 4已知离散型随机变量 的概率分布为11 2 3 4 5 6 7P 771711离散型随机变量 的概率分布为2237 38 39 4 41 42 43P 1717
10、71求这两个随机变量期望、均方差与标准差解： ；4271 E；471)(71)()4( 22 D 211D；3.8.3.2 =0.04, .202D点评：本题中的 和 都以相等的概率取各个不同的值，但 的取值较为分散， 的1 12取值较为集中 ， ， ，方差比较清楚地指出了 比42E104.2取值更集中12， =0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 2例 5甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数 8，9，10的概率分别为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数 8，9，10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水
11、平解： 180.29.610.2E+（10-9） ；()()D 4.02同理有 8.0,922DE由上可知， ， 所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所112得的平均环数很接近，均在 9 环左右，但甲所得环数较集中，以 9 环居多，而乙得环数较分散，得 8、10 环地次数多些点评：本题中， 和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同12=9，这时就通过 =0.4 和 =0.8 来比较 和 的离散程度，即两名射手21E1D212成绩的稳定情况 例 6A、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床 B 机床次品数 1 0 1 2 3次品数 1
12、0 1 2 3概率 P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率 P 0.8 0.06 0.04 0.10问哪一台机床加工质量较好解： E 1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,E 2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D 1=（0-0.44） 20.7+（1-0.44） 20.2+（2-0.44） 20.06+（3-0.44） 20.04=0.6064,D 2=（0-0.44） 20.8+（1-0.44） 20.06+（2-0.44） 20.04+（3-0.44） 20.10=0.9264.D 1 D 2 故 A 机床
13、加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：1 .已知 ，则 的值分别是（ ）,8,1.6BnpED,npA ； B ； C ； D 0.8和 204和 0.2和 10.8和答案：1.D 2. 一盒中装有零件 12 个，其中有 9 个正品，3 个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件解：设取得正品之前已取出的次品数为 ，显然 所有可能取的值
14、为 0，1，2，3当 =0 时，即第一次取得正品，试验停止，则P（=0）= 43129当 =1 时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P（=1）= 当 =2 时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则P（=2）= 209123当 =3 时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P（=3）= 01所以，E= 103209433. 有一批数量很大的商品的次品率为 1%，从中任意地连续取出 200 件商品，设其中次品数为 ，求 E，D分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很
15、小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解答本题，关键是理解清楚：抽 200 件商品可以看作 200 次独立重复试验，即 B（200，1%） ，从而可用公式：E=np，D=npq(这里 q=1-p)直接进行计:算解：因为商品数量相当大，抽 200 件商品可以看作 200 次独立重复试验，所以 B（200，1%）因为 E=np，D=npq，这里 n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.984. 设事件 A 发生的概率为 p，证明事件 A 在一次试验中发生次数 的方差不超过1/4分析：这是一道纯数学问题要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键
16、还是掌握随机变量的分布列求出方差 D=P(1-P)后，我们知道 D 是关于 P(P0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为 所有可能取的值为 0，1 且 P（=0）=1-p,P(=1)=p,所以，E=0(1-p)+1p=p 则 D=（0-p） 2(1-p)+(1-p) 2p=p(1-p) 412)p(5. 有 A、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下： A 110 120 125 130 135 B 100 115 125 130 145P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2其中 A、 B分别表示 A
17、、B 两种钢筋的抗拉强度在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于 120，试比较 A、B 两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量 A和 B&都以相同的概率 01，02，04，01，02 取 5个不同的数值 A取较为集中的数值 110，120，125，130，135； B取较为分散的数值100，115，125，130，145直观上看，猜想 A 种钢筋质量较好但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较 A与 B的期望值，因为E A=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,E B=1000.1+1150.2+1250.4 十 1300.1+145
18、0.2=125.所以，它们的期望相同再比较它们的方差因为D A=(110-125)20.1+(120-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(135-125) 20.2=50，D B=(100-125)20.1+(110-125) 2 0.2+(130-125) 20.1+(145-125) 20.2=165.所以，D A D B.因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行 10000 张彩票为一期)有 200 个奖品是 5 元的，20 个奖品是 25 元的，5 个奖品是 100 元的在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问
19、题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量 ，显然 所有可能取的值为 0，5，25，100 依题意，可得 的分布列为 0 5 25 100P 4391001201.2250E答：一张彩票的合理价格是 02 元五、小结 ： 求 离散型随机变量 的方差、标准差的步骤：理解 的 意 义 ， 写 出 可 能 取 的 全 部 值 ； 求 取 各 个 值 的 概 率 ， 写 出 分 布 列 ； 根据分布列，由期望的定义求
20、出 E ； 根 据 方 差 、 标 准 差 的 定 义 求 出 、 .若 B(n， p)， 则 不 必D写 出 分 布 列 ， 直 接 用 公 式 计 算 即 可 对 于 两 个 随 机 变 量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和121E2 1，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 2D六、课后作业： P69 练习 1,2,3 P69 A 组 4 B 组 1,21.设 B(n、p)且 E =12 D =4，求 n、p解：由二次分布的期望与方差性质可知 E =np D = np（1p） 4)1(2pn3218p2.已知随机变量 服从二项分布即 B(6、 )求 b (2
21、；6， )3131解：p( =2)=c62( )2( )4313.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和 ，已知和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由 0.1+0.6+a+1 a=0.30.3+0.3+b=1 a=0.4E =2.3 , E =2.0D =0.81 , D =0.6 七、板书设计（略） 八、教学反思： 求 离散型随机变量 的方差、标准差的步骤：理解 的 意 义 ， 写 出 可 能 取 的 全 部 值 ；求 取 各 个 值 的 概 率 ， 写 出 分 布 列 ；根据分布列，由期望的定义求出 E ； 根 据 方 差 、 标 准 差 的 定 义 求 出 、 .若 B(n， p)， 则 不 必 写 出 分 布 列 ，D直 接 用 公 式 计 算 即 可 对 于 两 个 随 机 变 量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和 ，1212 1D2可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 1 2 3p a 0.1 0.61 2 3p 0.3 b 0.3
