1、集合问题分类讨论正在进行分类讨论，想必同学们在初中时遇到过，它也是高中数学最常见的数学思想方法之一，化整为零，各个击破，真有点象用兵打仗！其实，数学解题有时就是用兵打仗，要讲点策略。而集合问题的求解往往离不开分类讨论，有例为证。1与集合元素有关的分类讨论例 1 设集合 求实数 a,b21,ABAabBab且 ，分析：在解此题利用集合相等定义列出方程组时，需注意对两集合中元素对应相等的情况进行分类讨论，满足 AB 条件的方程组有两种情况。解出实数 a,b 后还应注意利用集合中元素的性质对其进行取舍。解：由题意可得解得221)1(aba）或 （ 101baba或或经检验，当 时，所得集合的元素不符
2、合元素的互异性，10或所以， ba点评：集合中的元素具有确定性、无序性和互异性的特点。在分析集合所含元素的情况时，常常会涉及到分类讨论和利用元素特性检验等问题。2与集合子集有关的分类讨论例 2 已知集合 A ，B ，且 A BA ，求0232x210xa实数 a.分析：解此题可先由 A BA 得出 B A，然后对集合 B 中的元素个数进行分类讨论。解：由题意可得 A1,2 ， 再由 A BA 得 B A所以 B 或 B1或 B2或 B1，2（1）当 B 时，方程 无实根，即0ax，这不可能，此时 a 不存在。)()4)(22a（2）当 B1或 B2时， ，解得 a=2,此时0)2()14)(2
3、B1 ，所以 a=2 符合条件 .（3）当 B1，2时，方程 和 的根完全相同，由这032x2ax两个方程对应系数相等得 a=3综上，a=2,3点评：这类问题是集合部分中最常见的分类讨论问题，解题时需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论，尤其要注意空集是任何集合的子集。3与空集特性有关的分类讨论例 3 已知 A ，B ，问 m 为何实数时，41x 12xm成立。BA分析：此题已知 ，需按 和 进行分类讨论，分类后要注意每种情况所对应的 m+1 和 2m1 的大小关系。解：由 得 ，所以 A 4x53x53x（1）当 时， 成立，此时 m+12m 1 ，即 m412315m或综上，m4点评：空
4、集是集合中一类特殊的集合，它不但具有是任何集合的子集这一性质，而且还具有其它特性，如 等。因此在处理集合问题时，对未知集,UAAC合进行空集与非空集合的讨论是十分重要的。集合问题本不易，劝军审题须仔细。 分类讨论好解题，各个击破必胜利。集合运算的直观技巧在正确理解集合相关概念的基础上，进行集合运算时，还需要掌握一些常用的方法，下面举例介绍集合运算中的两种直观技巧.一、巧用数轴一些与不等式相关的集合，一般都可以在数轴上表示，从而可以观察得到集合的运算结果，还可由各个集合在数轴上的相互位置关系，求解一些参数的范围.用数轴时，要注意端点处是实点还是虚点.例 已知全集 ，集合x|1x0 ，x|axb
5、，满足x|0-2 ，求 a，b 的值 .解析：将集合、分别在数轴上表示，如图所示.由x|0-2 ，知 a-1. 综合、知 a=-1，b=2.二、巧用enn 图集合的交、并、补的运算，一般都可以通过enn 图进行.利用enn 图可以直观形象地观察出运算的结果.例 已知全集， ，且（ ）UA， ， ， （ ）（ ）， ，求集合、.UAUB解析：画出enn 图，如图所示，全集由四个集合（ ）U，（ ） ， （ ）（ ）组成，且以上任意两个集合的交集为 ，UBU 故全集中每一个元素仅属于上述四个集合中的一个集合，（ ）， ，UB故， ，.例 某中学高一（）班有学生人，参加航模小组的有人.参加电脑小组的
6、有人，求既参加航模小组又参加电脑小组的人数的最大值与最小值.解析：设某中学高一（）班的全体学生 ，参加航模小组的学生 ，参加电脑小组的学生 ，既参加航模小组又参加电脑小组的学生有 x 人，画出enn图，如图所示，从图中可得至少参加一组的学生有（-x）+x+（x）57-x 人.依题意有 ，解得 7x25.25037x ， ，所以既参加航模小组又参加电脑小组的人数的最大值是，最小值是.高考集合题中的“四个明确”集合知识是历年全国各省高考的必考内容之一虽然高考还是考查集合的初步知识，但由于集合语言是现代数学的基本语言之一，因此考查的内涵及其丰富，考查的背景更是多彩多姿考查集合的试题仍以客观题为主，加
7、以单独知识点或多个知识点之间的整合，呈现的方式也各有特色下面结合全国各省高考的集合相关试题，从“四个明确”对集合知识的考查加以评析1、明确集合中的元素的特征非空集合中的元素具备的特征是：确定性、互异性、无序性等集合是由元素组成的，认清集合中元素的特征，并从元素入手是解决集合问题最常见的方法，也是关键所在所以，首先要求我们明确试题中的集合元素的特征，根据相关的知识加以求解例 1 已知集合 A 1，3，2 1 ，集合 B 3， 若 B A，则实数m2m_m解析：由互异性可知 ，由于 B A，则有 （不合题意，舍去）或212，解 得 12m12m评注：注意集合中的元素的特征：互异性，并要注意题目中的
8、隐含条件（ ） 集合中的元素的特征互异性，是集合中经常考查的一个特征02例 2 定义集合运算：A*B= ，设集合 ，,)(|ByAxyz1,0A，则集合 A*B 的所有元素之和为（ ）3,BA0 B6 C12 D18解析：当 ， 时， ；当 ， 时，x2y0)(yxzx3y；)(yz当 ， 时， ；当 ， 时， ；1x6)(yxz1xy12)(yxz结合集合的特征，可以得到 A*B= ，2,0则集合 A*B 的所有元素之和为：0+6+12=18，即选择答案（D ） 评注：对于“新概念”的集合问题，要注意所定义的集合的实质内含，并结合集合的基本特征加以求解关键在于理解“新概念”集合的特征，也是近
9、年来考查比较突出的一个问题2、明确集合中的元素的个数集合分为有限集和无限集，要求明确试题中集合元素的个数从而把试题中的集合转化为最具体的列举法、描述法等表示形式，特别是对一些相关散点数的集合类型的题目，从而达到求解的目的例 3 设集合 ，则满足 的集合 B 的个数是（ ）2,1A3,21BAA1 B3 C4 D8解析：由于 ， ，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为,求集合 的子集的个数问题，2,所以满足题目条件的集合 B 共有 22=4 个，故选择答案（C ） 评注：注意题目的转化，把问题转化为求解集合的子集的个数问题，这样就比较好下手，便于问题的处理当然对于元素个数不太多的集合，有
10、时也可以通过列举法一一列举出来加以求解判断3、明确集合的关系判断两个集合之间的关系，就是要判断一个集合的元素是否是另一个集合的元素，从而加以判断几个集合之间的包含或相等关系有时也通过符号法、韦恩图法等加以分析求解，特别是针对一些抽象集合问题例 4 若 A、B、C 为三个集合， ，则一定有（ ）CBAA B C DA解析：由于 ，结合集合间的关系知， ， ，CBABAC而 ，则有 ，则 ，故选择答案（A） C评注：集合之间的包含关系或其运算性质，特别常见的是 、 等A关系式，要求我们加以理解和掌握，在实际解答时会加以灵活运用例 5 设集合 ， ，则（ ）0|2xM2|xNA B C DNMRN解
11、析：由于= ， = ，0|2x1|x2|x2|x则 = = =M，故选择答案M|10|（B ） 评注：通过集合运算的最简化形式，结合相关的数轴或韦恩图加以判断集合之间的关系关键是判断各自之间的运算结果与关系式之间的联系4、明确集合的运算两个集合的交、并、补运算的方法主要是：定义法、韦恩图法、数轴法等选择适当的集合运算方法，结合相关知识加以求解注意在集合的运算中，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行运算例 6 设集合 ， ，则,2|RxxA 21,|2xyB等于（ ）)(BACRAR B C D0,|xR0解析：由于 = ，2|x2|x= ，1,|2yB4|则 ，所以 = ，故选择答案（
12、B） 0A)(ACR0R评注：注意集合运算的最简化，并通过集合的运算加以求解本题侧重于集合运算中的数轴法，通过数轴辅助加以集合运算的求解，准确性高例 7 设全集 U=1，2 ，3，4，5，6，7，8，集合 S=1，3，5，T=3，6，则等于（ ）)(TSCUA B2，4，7，8 C1，3，5，6 D2，4，6，8解析：由于 S=1，3，5，T=3，6，则 =1，3，5，6，TS所以 =2，4，7，8，故选择答案（B） )(TSCU评注：对于散点数的集合类型的运算题目，注意集合运算中元素的互异性和无序性如果碰到部分集合是采用描述性叙述的，要先将之转化为列举法表示例 8 已知集合 ，集合 ，则10
13、|xNP 06|2xRxQ等于（ ）QPA2 B1，2 C2 ，3 D1，2，3解析：由于 = ，而06|2xRx 3|x=1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，10 ，10|Nx所以 =1，2，故选择答案（B ） QP评注：对于不同元素类型的集合之间的运算，一定要加以注意，这种类型的集合运算容易被忽视，运算的实质是取其公共的部分特别是本题中的集合 P 是散点数的集合，而集合 Q 是表示的是数轴上的一个区间上的连续点通过以上的“四个明确” ，以及相关的高考考题分析，集合部分考题通常表现在以下几个方面：用列举法或描述法给出集合后，考查空集或全集的概念；元素与集合，集合与集合之间的关系；集合的交、
14、并、补运算；集合的有关术语和符号，如 、 、 、 、 等，以集合的运算为载体，广泛应用于函数、不等式、三角、立体几何、解析几何等知识中，充分体现学生对数学语言的理解和转化能力用图形语言分析集合问题在学习集合时，同学们会遇到许多图形，其实它们是数学语言的另一种表示，我们称之为图形语言用图形语言来表示集合问题中的数学对象，直观形象，简洁易懂如图1，阴影部分表示集合 A 与集合 B 的交集，结合图象能比较直观的理解交集是由集合 A 和集合 B 中的公共元素所组成的集合灵活、准确地将数学问题用图形语言进行转换，有时是求解集合问题的关键将集合问题图形化，有助于准确地显示出各集合间的关系，捕捉有用的解题信
15、息，启发解题思路本文举几个实例，供同学们参考例 1 已知 I 为全集，集合 ，若 ，则（ ）MNI， N IIMNIMNINIIMN分析：可根据题设 ，恰当地作出图形（图 2） ，化抽象为直观，从 而化难为易解：根据图形分析可知 所以应选IMNI例 2 若不等式 成立时，则关于 的不等式 也成立求实数012x x10xa的取值范围a分析：若从不等式的角度，难以解释“也成立”的含义，而用集合的语言，问题就变得清晰起来解：设集合 ，0121Axx| ，1Bxaa|由题意有 由图 3 可知 ，即 1a2a故所求的 的取值范围是 a|2a例 3 已知全集 ，其中 是 的子集，且满足0U不 大 于 的
16、质 数 AB，U， ，求集合 5719UABAB， 217UA，分析：此类集合问题比较抽象，解题时若能借助图形，采取数形结合的思想方法，往往可将问题直观化、形象化如本题在确定元素的归属问题时，结合图形（如图 4）很容易把全集 U 划分为 四个部分根据题设条件，在各部UUB，分区域上填上相应元素解：如图所示：235719U，由 可知 中有元素 3，5，ABA由 可知 中有元素 7，19U剩下的元素 11，13 必在 内， B3517139A，会用简约、准确的数学图形语言来转换相关的数学问题，是数学的基本能力之一，也是“数形结合”这一思想的集中体现，同学们在今后的学习中要加以重视集合问题中常见错解
17、剖析集合是高中数学的重要内容，也是高考必考内容之一，由于集合涉及的内容多，范围广，题目灵活，因此解题中常易出现偏差.本文拟结合一些常见的错解进行剖析，以帮助同学们正确理解和掌握集合这一部分知识内容.一、错误理解代表元素在解决集合问题时，需认清集合中代表元素的形式与集合，否则极易出错.例 1、已知 ， ，则 （ ）2,MyxR2(,),NxyxRA B C DNMN错解：选 A剖析：错解中注意到集合 、 中， 、 的函数关系式相同，就错误地认为集合xy，而事实上，集合 、 表示不同的含义：集合 表示函数 的函数值所MN2yx组成的数集；而集合 则表示由函数 图像上所有的点所组成的点集.因此正确答
18、案2yx选 D.例 2、已知 ， ，则 等于 （ 2,yxR21,xRMN）A B C DMNR错解：选 C剖析：错解理解为是求两个二次函数图像的交点情况，而事实上，集合 、 中代表元MN素均为 ，则集合 、 分别表示函数 ， 的值域.由于 ，y 2yx210y，则 ，因此正确答案选 B.1NN评注：中学数学里一般只研究两类集合：数集与点集.因此在读题时一定要认清所研究的集合是数集还是点集，也即要注意其代表元素是实数还是点的坐标.例 3、已知集合 与集合 ，则集合 与集合 的关系是：（ ,MabcxMN）A B C DNN错解：选 B剖析：错解认为集合 M 与集合 N 之间的关系是集合之间的包
19、含关系，而事实上，集合 N中的元素是由集合 M 中的子集所构成，因此，集合 N 与集合 M 的关系是元素与集合间的属于关系，因此，正确答案选 C.二、忽略集合元素的特性例 4、由实数 ， ， ， ， 所组成的集合中，所含元素最多有 （ x2x3）A 2 个 B3 个 C4 个 D5 个错解：选 B.剖析：错解是对 ， ， 没有仔细分析所致.由于 ， ，因此无论x2x3x或 ，都最多只有两个元素 和 ，因此正确答案选 A.0xx例 5、若 ，32,47AaB21,a21(8),a，且 ，试求实数 的值.327a,5错解： ， ，可解得： 或 .,B3221剖析：解得： 或 后，需进一步考查是否满足题意，1a当 时， ，此与元素的互异性相矛盾，故舍去；1a2当 时， ，与 相矛盾，故舍去；,0542,5AB当 时， ， ，此时 ，符合题意.2A1,32,5故 为所求.a三、忽略 的特殊性是特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.当题设
