1、1方程(1)定义：含有未知数的等式叫做方程(2)理解：方程是等式的一种，它可以看作由两个式子组成，等号的左右各 1 个，它区别于等式的最大特点是式子中含有未知数；方程的种类较多，形式也不一样如： x2 y0,3 x22 x4,5 x0， 6，3xy都是方程解技巧 方程的辨别 判断是否是方程要抓住两点：首先是一个等式，式子中含有字母表示的未知数【例 1】 判断下列各式是不是方程，是的打“” ，不是的打“” (1)253( )；(2)3 x17( )；(3)m0( )；(4) x3( )；(5)x y8( )；(6)2x25 x10( )；(7)2a b( )；(8) 76 x4( )2x解析：(
2、1)是等式不含未知数，不是；(4)不是等式；(7)不是等式，其余都是答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)2一元一次方程(1)定义：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，等号两边都是等式，这样的方程叫做一元一次方程(2)特点：是整式方程，左右两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的次数是 1.在整式方程中，元是指的未知数，几元就是有几个未知数，次是指的未知项的次数，几次就是未知项的次数【例 21】 判断下列方程是不是一元一次方程：(1)23 x7：(2)2 a b3；(3)y36 y9；(4) x21；(5) y4 y.12 13分析：(2)(4)不是，(
3、2)中含有两个未知数，(4)中虽含有一个未知数，但未知数的次数不是 1.解：(1)(3)(5)是，(2)(4)不是来源:学优 WWW.ZK5U.COM【例 22】 若方程 3xa45( a 已知， x 未知)是一元一次方程，则 a 等于( )A任意有理数 B0C1 D0 或 1解析：方程是一元一次方程，未知数的次数就是 1，即 a1，故选 C.答案：C3方程的解(1)定义：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解注意：有些方程的解只有 1 个，有些则有多个，也有些可能一个也没有(2)解方程：求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做解方程(3)方程解的检验方法：要检验某个值是不
4、是方程的解，就是用这个值代替未知数代入方程，看能否使方程左右两边的值相等，相等就是方程的解，不相等则不是【例 3】 x2 是下列方程_的解( )A2 x6B( x3)( x2)0C x23D3 x60解析：把 x2 分别代入四个方程检验，只有方程 3x60 左右两边相等，故选 D.答案：D4等式的性质 1(1)性质 1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等(2)表示：如果 a b，那么 ac bc.(3)注意：等式性质运用的前提必须是等式；等式两边所加或减的数(式子)必须相等同加或同减后的式子的结果相等，即左右两边仍相等，但原式的左右两边的值与变化后式子的值相比较都已改变，不再相等
5、(加或减 0 除外)【例 4】 如果 m n，那么下列各式： m3 n3； m n ；2 m m n； m n0，正确的有( )12 12A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：不正确，左边减 3，右边加 3，所以结果不相等；、正确，左右分别是同减 、同加 m，同减 n，所以仍然相等，故选 C.12答案：C5等式的性质 2(1)性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等(2)表示：如果 a b，那么 ac bc；如果 a b，( c0)，那么 .ac bc(3)注意：根据等式的性质变形后，等式的结果仍相等，但原等式左右两边的式子的值已变化，所以已不等于原式的值，因
6、此不能连等同往天平里添加砝码一样，虽仍然平衡，但左右两个托盘中砝码数量已变化谈重点 等式的性质 等式的性质是等式变形的基础，是解决等式问题的依据，也是解方程的理论依据和基础【例 5】 填空：(1)在等式5 x5 y 的两边都_，得 x y；(2)在等式 x4 的两边都_，得 x_；13(3)如果 x2 y，那么 x_，是等式两边都_得到的14解析：根据等式的性质 2 回答答案：(1)除以5 (2)乘以3 或除以 12 (3)8 y 乘以4 或除以13 146方程解的验证方法能使方程中等号左右两边相等的未知数的值是方程的解，所以要检验某个值是不是方程的解，就是把这个数代入方程的左右两边，看等号两
7、边的值是否相等方程的解 对于不同的方程，解的情况也不一样，只要能使方程左右两边相等的所有未知数的值都是方程的解【例 6】 检验下列数值哪些是方程 x22 x3 x 的解(1)x1；(2) x0；(3) x1；(4) x2.分析：把(1) x1，(2) x0，(3) x1，(4) x2 分别代入原方程中，计算观察看左右两边的值是否相等解：(1)把 x1 代入方程，左边(1) 22(1)1，右边3(1)3，左边右边，所以 x1 不是原方程的解；(2)把 x0 代入方程，左边0 2200，右边300，左边右边，所以 x0 是原方程的解；同样可得，x1 是方程的解， x2 不是方程的解7.运用等式的性
8、质解方程方程也是等式，所以等式的性质也可以应用于方程中的变形，根据等式的性质 1,2 可以将一个方程，经过变形最后化成 x a(a 是常数)的形式，这个过程就是运用等式的性质解方程的过程；如：求方程 x54 的解，可以根据等式的性质 1，左右两边都加 5(或13减5)，可以得到 x9，再根据等式的性质 2，左右两边同时乘以3 式子变为13x27，由此可以求出方程的解为 x27.谈重点 等式性质的重要性 等式的性质不仅是等式变形的依据也是解方程的理论依据和基础，随着进一步的学习，等式性质在解方程中应用更多，也不断变化【例 7】 用等式的性质解下列方程：(1)x726；(2)5 x20；(3) x
9、54；13(4)6x4 x3.分析：运用等式的性质 1，通过加减可以将方程左边的常数项消掉，运用等式的性质2，可以将方程化为 x a 的形式，解出方程解：(1)把方程两边都减 7，得 x77267， x19.(2)方程两边除以5，得5 x(5)20(5)， x4.(3)方程两边都加 5，得 x5545，化简，得 x9，两边都乘以3，得13 13x(3)9(3)，13 x27.(4)方程两边都加4 x，得 6x4 x4 x34 x，化简，得 2x3，两边都除以 2，得 2x232， x .328.一元一次方程概念的应用分类一元一次方程是最简单的方程，它只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是
10、1，等号两边都是整式对于它的概念的理解和应用主要有两类：(1)判定一个方程是否是一元一次方程，一般给出一些方程，判断或选择其中的一元一次方程(2)根据一元一次方程的特点，判断方程中未知指数或未知系数的值的情况，如：已知2xm1 50 是一元一次方程，求 m 的值等解技巧 解决方程的有关概念问题的方法技巧 第(1)类题目应抓住方程特点：次数是1 次，且只有一个未知数来判定；第(2)类题目首先在是一元一次方程的前提下，根据一元一次方程特定的特点，得出未知指数为 1，同时所有次数不是 1 的项不存在，即系数为 0，同时要注意次数为 1 的未知数的系数和不能为 0.【例 81】 下列方程中是一元一次方
11、程的是( )A x3 y2 B x33 xC. 1 D x211x解析：A 中含有两个未知数，C 不是整式方程，D 中未知数的次数不是 1，只有 B 是，故选 B.答案：B【例 82】 填空：来源:学优(1)xk1 210 是一元一次方程，则 k_；(2)2x|k|210 是一元一次方程，则 k_；(3)(k1) x|k|210 是一元一次方程，则 k_；(4)(k2) x2 kx210 是一元一次方程，则 k_.解析：(1)因为方程是一元一次方程，所以未知数 x 的次数只能是 1，即 k11，所以 k0.(2)因为方程是一元一次方程，所以未知数 x 的次数是 1，所以| k|1，所以k1.(
12、3)方程是一元一次方程，既要满足| k|1，又要满足 k10，所以 k1.(4)因为方程是一元一次方程，而( k2) x2这项次数是 2，所以不能存在，系数为 0，即k20，所以 k2.答案：(1)0 (2)1 (3)1 (4)29等式性质运用拓展等式除了我们所学的 2 个性质以外，还有一些常用的性质：等式的传递性，有时称作等量代换：如果 a b， b c，那么 a c，这个性质在几何的证明中经常使用；等式的对称性：如果5 x，那么 x5，这在解方程或等式变形中也常用，可起到简化计算过程的作用如：解方程 53 x1 时，我们可以将方程左右两边同时加 1，得63 x，两边同除以 3，得 2 x，
13、即 x2.因为等式的性质有很多，因而有时把所学的两个性质称为等式的基本性质，这些性质共同构成了等式变形的基础，并渗透在等式的各个变化过程中，互相结合，应用也很广泛【例 91】 下列变形正确的是( )A若 x y，则 x a y a B若 x ， x y，则 y34 34C若 ac2 bc2，则 a b D若 x y，则 xa 2 ya 2解析：A 错误，两边所加的数不等，C、D 分别是两边同时除以 c2和 a2，但 c2和a2 可能等于 0，因而不正确，只有 B 正确，故选 B.答案：B【例 92】 判断：(1)若 ，则 ( )；ac bc ac2 bc2(2)若 x y，则 ( )xa ya
14、解析：(1)正确，因为既然式子成立， c0，所以同时除以 c，等式仍然成立；(2)不正确，等式两边同时除以 a， a 可以是 0，所以等式不一定成立答案：(1) (2)10.用等式表示数量关系(1)广泛性：用等式表示数量关系在数学中应用很广泛，像所有的公式，如：s vt； S r2等；有些法则也可以用等式表示，如加法交换律： a b b a；分配律：a(b c) ab ac.(2)作用：运用等式表示数量关系从数学的角度反映了各量之间的关系及变化，并且能运用等式的性质通过等式变形的方法或解方程的形式，在已知某些数据的情况下，求出未知数据，从而更快、更准确地解决实际问题(3)实质：大多都是用两种不
15、同的方法表示同一个量，或相等的量，往往与多多少、少多少、几倍、增加、减少等紧密联系【例 10】 列等式表示下列关系：(1)比 x 的一半少 3 的数是 y 的 .23(2)比 a 的 3 倍大 2 的数等于 a 的 4 倍来源:学优 WWW.ZK5U.COM(3)两个数的和与这两数的差的积等于这两数的平方差(4)一种商品原价 a 元，按八折(即原价的 80%)出售的售价是 b 元分析：分析各数量之间的关系，用含字母的式子表示各量，再根据它们之间的和、差、倍、分或相等关系列出等式解：(1) x3 y；12 23(2)3a24 a；(3)设这两个数分别为 a， b，那么( a b)(a b) a2 b2；(4)80%a b.
