1、点到直线的距离公式的多种证明在平面直角坐标系中，关于点 到直线 ),(0yxP0:CByAxl的距离公式 。教材上给出了当 时的证明，并说明20BACyxd 0,当 或 时公式也成立。教师教学用书上还给出了三种证法。本文就当0A的情形下。再给出几种不同证法。 ,B证 法 一（平面几何法） 设 与 轴交于点 ，得 0:CyxlxD)0,(AC过点 做 轴的垂线 交 轴于 ， ),(0PPE交直线 于 ，lF得 ),(),00BxAxECD0ByAxxByPF00 ABCxCD202020)()( 由平面几何知识易证 DEFPQ则FEPPdBCyAxCAxBd 0200得： .20y证 法 二（平
2、移法）将坐标系 的原点 平移到点yx),(0yxP新坐标系 。o),(0yxPxlQFEDO在新坐标系中的方程是l 0)()(00 CyBxA即 过 作 的垂线 为垂足，易求 作PlQ,P在直线在新坐标系中的方程为 xABy由 求出 点的坐标 )(),( 0202 CByAxCy20202 ) BByxAPQ即 .20Cyx证 法 三（参数法）过 做 的垂线 为垂足。),(0yxP:ByAxl QP,设 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，lPQ易得 。.2直线的参数方程是（ 为参数）cos)2sin(inco00tytyxxt代入的方程得： 0)(i0CtBxA.cossin0BCyt由 根据
3、同角关系可得,ta22sin,cos BABA代入得 20220BACyxBACyxtPQxlo. ),(0yxPxlQoy),(0yPQ证 法 四（向量法）设直线 的法向量 。则ln.),(BA过 做 的垂线段 ，点 在直线 上，PQ1,yxl得向量 ),(0101x由 与 是共线向量。n,nP则有 ).,(),(0101BAyx.0101xy点 在 上，)(,xQl 0)()(0Cy20BACy 2202 BAyAxnPd 20BACyx证 法 五（最值法）由点 到直线 的距离为点 与 上的点),(0yxP0:yxl ),(0yxPl),(yxM的距离 的最小值。M由 2020)()(yx20 20020 20002202 200)( )( ()( )(CByAxByAxyx xyBAxP),(0yxPxyQonl20 20min22)(BACyxd BACyxPMPM以上的证明均在 的条件下进行的，可验证 或 时，公式也成立。,0但此时可不必使用这个公式就可以直接求得距离。例如求点 到直线 的距离)2,1(P3x，得d.4)3(1
