1、正余弦定理学习点拨正、余弦定理是应用很广泛的定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与代数产生联系，如求与三角形有关的量、判断三角形形状、证明三角形中有关的等式等，并为此提供重要依据下面我们结合实例谈一谈复习正余弦定理这部分应从哪几方面加强学习一、 重视数学思想方法的运用解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题过程中要注意函数与方程思想的运用例 1 如图 1 所示，隔河看两目标 ，但不能到达，AB，在岸边选取相距 千米的 两点，并测得3CD，75454530ACBDC， ， ， （ 在同一平面内） 求两目标 之间的距， ， ， ，离分析：要求出 之
2、间的距离，可以在 或B， AB中去找关系式但不管在哪个三角形中，除 边是D已知外其他两边都是未知的，需要借助其他三角形找出合适的关系式，从而求出另两边的值解：在 中，AC，30120DACB ，AC在 中， ，BD 18045(3)60由正弦定理可得： ，sin726C在 中，由余弦定理得： ，AB 22cosABCABCA（千米） 5故 之间的距离为 千米， 5二、 加强知识之间的联系学习本章知识要与初中学过的三角形的边、角关系联系起来同时，要注意与三角函数、平面向量等知识联系起来，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力例 2 在 中，已知 ABC222sinisin1cos
3、ABCB求证： 是等腰三角形或直角三角形分析：从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定 为等腰或直AC角三角形两种情况因此，应综合应用正余定理、三角形内角和定理、勾股定理，先进行化简，再讨论证明：应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为： ，222cosabB再由余弦定理将其变形为： ，22cosabCB整理得： ，coss0CB由 ，得 ，0s9由 ，及依据正弦定理得： ，cobsincoBC即 insicoBC2或 ，即 或 22180 90综上所述： 是等腰三角形或直角三角形A三、 提高数学建模能力利用解三角形的知识解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，然
4、后根据题意作出示意图，将实际问题转化为三角问题来解决例 3 在半径为 的扇形 中，圆心角 ，在扇形中有一个内接矩形，ROAB60AOB求内接矩形的最大面积分析：我们可以在扇形中按图 2 或者图 3 的方法得到矩形然后分别求在这两种情况下，哪种方法得到的矩形面积最大解：若按图 2 方式作一内接矩形，设 ，则矩形面积 PQxMy， Sxy连结 ，令 ，则 ONAsinyR对 依据正弦定理有： ， M i(60)i(60)x2sin(60)3Rx故 ，22sin()coscos33RSR 当 时， ；02max6若按如图 3 方式作一内接矩形，则可设 ， 连结PNxMyAON，则在 中，有 ，ONP
5、 sinsiO即 2sin150Rx过 作 于 ，则 HMN12yHN又 ， ，302AOBsin(30)R，24sin()co15cos30SxyR 当 时， 152max比较 与 的大小可知，所求矩形的最大面积为 2(3)26 236R巧 用 余 弦 定 理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活变式 1： ， ，22(cos)()0abCac22(cos)()0bAba22()cB例 1 在 中， 是 边上一点， 求证： A DABCDB2DACB证
6、明：在 和 中，由变式 1，得 ， 2cos0A2 2cos0C由 知 为方程 的两根CDBA，22(cos)0xACxBC依根与系数的关系得 2DB注：余弦定理的变式 1 可视为关于其中一边的二次方程，这在许多问题的处理上，显得简洁明快，此变式常与根与系数的关系联用；给定三角形两边与其中一边的对角，可用变式 1 求第三边变式 2： ， ，2()(cos)abcA22()(1cos)bacB()cC例 2 中，已知 ，求 的面积AB 6103cabC， AC解：由 ，得 2()(os)cab26(1cos30)ab643b1sin6(23)2ABCSa注：给定三角形两边之和及其夹角求第三边，利
7、用变式 2 显得非常便利变式 3： ， ，221cosAbb21cosaB22scCaa例 3 已知 是 的三个内角，它们的对边分别为 ，且AB， abc，1()2，求此三角形的各内角的度数ca解： ， 1(80)2ACBB 60由 ， 3cos2baaba又由正弦定理得 ， insbBAi或 （不合题意，舍去） 45A1380675C因此 的三内角分别是 B 46075，注：已知三角形两边之比及三角形三个角之间的关系，可用变式 3 求另两边之比，此变式常与正弦定理联用变式 4：将 ， ，两式相加可得22cosabA22cosbaB，即 这就是三角形中的射影定理2cos0ABs例 4 在 中，求证： C 2221Bb证明：左边乘以 得2ab2 2coss(cos)(cos)bABAaAab，22()b再除以 有左边 ，原式即可得证2ab221a
