1、2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二分法 素材教材分析函数与方程是中学数学的重要内容之一，又是初等数学和高等数学的衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数与方程实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系，因而函数与方程思想的教学，即有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。而这正是本节课要渗透的重要思想。本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系。它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，即体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思
2、想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位。学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了方程的根与函数零点，理解了函数图象与方程的根之间的关系，尤其熟悉二次函数图象及其方程的根，并且已经具有一定的数形结合思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想为学生继续学习算法内容埋下伏笔。但学生对于动态与静态的认识薄弱，对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合函数图象与性质，计算机的应用尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数值逼近函数零点时造成了一定的难度。因此在教学过程中应该给学
3、生提供实践动手的机会，加强信息技术的应用。在用二分法教学时，应该为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，理解问题的本质从而得出结论。教学目标：知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一教学重点、难点：重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方
4、程的近似解设计思想：设计环节教师活动 学生活动 设计意图创设应用情境引出问题提出问题 1从上海到美国旧金山的海底电缆有 15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望。注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题学生独立思考，可能出现的以下解决方法：思路 1：直接一个个接点去寻找。思路 2：通过画图先找中点，再找剩下来一半的中点从实际问题入手，利用计算机演示二分查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法利用信息技
5、术初步体会二分法的思想步骤提出问题 2：如果有专家可以研究出电缆故障点大概在函数 的零点位置，请同学6ln)(xxf们先猜想它的零点大概是多少？我们如何找出这个零点？通过信息技术强大计算功能，培养学生实践操作能力，引导学生利用计算机边操作边认识，得出教科书上的表 32，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质。学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与 x 轴的交点的横坐标，故它的零点在区间（2，3）内。进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算机通过将自变量改变步长减少很快得出表 32，找出零点的大概位置。问题 2 有着承上启下的作用既是对前面问题结果的进一步加强
6、，也揭示了下一步归纳二分法及步骤，使学生更深刻地理解二分法的思想。提出问题 3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及步骤：学生思考问题 3 举出一元二次函数外，对照步骤观察函数 62ln)(xf让学生从特殊到一般得出求函数零点近似解的的常用方法，揭示数学通常的发现从特殊到一般归纳二分法及其步骤对于在区间 ， 上连续不断，且满ab足 的函数 ，通过)(ff0)(xfy不断地把函数 的零点所在的区间一分)(x为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度 ，用二
7、分法求函数 的)(xf零点近似值的步骤如下：1确定区间 ， ，验证 ab)(af，给定精度 ；)(bf02求区间 ， 的中点 ；()1x3计算 ：1xf若 = ，则 就是函数的零点； 1 )(01若 0)5.1(f1（1，1.5） 04510.125（1.375，1.4375）)062.(f00.0625如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步学生根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析例 2 是对前面所学知识和数学思想的综合应用和巩固。同时也是让学生在具体操作中体会二分法步骤当中的 2若 )(af1xf ，则令0= （此时零点b1） ；),(0x
8、a 3若 )(1fbf ，则令0= （此时零点a1x） ；),(0b为什么令 = 或1x=a1布置课堂练习1教材 P106练习 1、2 题；（教师巡视，个别指导）教师、学生相互交流以巩固本节课的学习利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法以求达到教学目标。本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的课改理念。练习交流反馈巩固 教师进一步追问：练习 1、2 题方程还有其他的根吗？教师引导学生应用函数单调性确定方程解的个数并形成结论学生认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论：图象在闭区间 ，a上连续的b单调函数，在)(xf， 上至ab多
9、有一个零点让学生对一个具体函数（或方程）的零点（或根）的探究有更完整的认识。师生交流与小结请同桌之间相互回顾总结本节课所学内容及涉及到哪些思想方法教师强调1.明确二分法是一种求一元方程近似解的通法。2.揭示算法定义，了解算法特点。3.回顾二分法步骤，理解二分法思想本质。学生自我小结关注学生学习的主动性，通过自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单梳理，也是对所学内容的再次巩固作业回馈1） 教材 P108习题 31（A 组）第 36题、 （B 组）第 4 题；2） 提高作业：借助于计算机或计算器，用二分法求 1函数的零点（精确到 ）4)(3xf 01.；探究函数 与函数 2 xy.0的图
10、象有无交点，如有交点，y3.0log求出交点，或给出一个与交点距离不超过 的点1.1 为巩固作业2 为课外拓展作业，培养学生的探究再创造能力。教学流程创设应用情境引出问题 利用休息技术初步体会二分法的思想步骤 从特殊到一般归纳二分法及其步骤 应用二分法借助计算机求方程近似解 练习、交流、反馈、巩固 师生交流与小结 作业回馈知识结构问题探讨在教材练习中是否可渗透更多求函数零点近似解的其他的算法思想的思考题拓展学生的视野，让学生了解二分法求方程的近似解是通用方法。对用二分法求函数零点近似解的算法思想理解到底要达到何种程度在教材中不是特别明白。从表面上可能很多学生觉得是一个简单的一分为二，只是停留在一种静态的认识，缺乏一种动态的认识，对此教师在教学设计中是否有必要考虑到这点，而在教学中作一些提醒呢？另外，既然学了二分法求方程的近似解是否有必要让学生知道二分法的适用。函数与方程合乎 方程的根与函数零点的关系函数零点的存在性用二分法求方程的近似解
