1、直线和平面的位置关系一、选择题（本题每小题 5 分，共 60 分）1当太阳光线与水平面的倾斜角为 60时，要使一根长为 2m 的细杆的影子最长，则细杆与水平地面所成的角为 （ ）A15 B 30 C45 D602正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，对角线 AC1 与底面 ABCD 所成的角的正切等于 （ ）A1 B C D2233长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，对角线 AC1 与面 ABCD、面 BCC1B1 所成的角分别为 、，面对角线 BC1 与面 ABCD 所成的角为 ，则有 ( )Asin=sinsin Bcos=sincosCcos=coscos Dsin=cos sin
2、 4空间四边形的与各顶点等距离的截面共有 ( )A7 个 B 4 个 C3 个 D1 个5图中给出的是长方体形木料想象沿图中平面所示位置截长方体，若那么截面图形是下面四个图形中的 A B C D6 RtABC 的斜边 BC 在平面 内，A ，设 A 在 上的射影为 A，则由 AB,AC,BC组成的图形是 （ ）A直角三角形 B锐角三角形 C线段或锐角三角形 D线段或钝角三角形7正方体最长的对角线所在的直线与正方体各条棱所成的角的弧度值的种数是 （ ）A1 B2 C3 D48空间五个点，其中任意两点的连线都与其他三个点确定的平面垂直，则这五个点（ ）A存在，且其中任意四个点不共面 . B存在，其
3、中可能有四个点共面.C不存在，但在任意两个点确定的 10 条直线中可以有 8 条分别与另外三个点确定的平面垂直.D不存在，且在任意两个点确定的 10 条直线中至少有 7 条分别与另外三个点确定的平面垂直.9设 P 是平面 外一点，且 P 到平面 内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是（ ）A梯形 B圆外切四边形 C圆内接四边形 D任意四边形10若 a，b 是异面直线，P 是 a，b 外的一点，有以下四个命题：过 P 点可作直线 k 与 a，b 都相交;过 P 点可作平面与 a，b 都平行;过 P 点可作直线与 a，b 都垂直;过 P 点可作直线 k 与 a，b 所成角都等于 50 .这四个
4、命题中正确命题的序号是 （ ）A、 B、 C D、11若一个长方体共点的三个表面的对角线长分别为 a、b、c ，则长方体的对角线长是（ ） A B C D22cba2cba2)(3cab12已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为 2：3：4，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是 （ ）A B60 C D无法确定的180180二、填空题 （ 本题每小题 4 分，共 16 分）13若两直线 a,b 在平面 上的射影 a,b是平行的直线，则 a,b 的位置关系是 14正方形 ABCD 在平面 的同侧，若 A、B、C 三点到 的距离分别为 2，3，4，则BD所在直线与平面 的
5、位置关系是 15设正方体 ，恰好到其中 5 个面所在平面的距离都相等的点共有1DABC个，平面 M 与各条棱所成的角都等于 ，则 sin16在体对角线长为 l 的长方体中，体对角线在相邻三个面内的射影长的和的最大值等于_ 三 解答题（共 74 分）17 （10 分）已知四边形 ABCD 中，ABC= BCD=CDA=DAB=90，求证：四边形是矩形18 （12 分）如图，P 是 ABC 所在平面外一点，M，N 分别是 PA 和 AB 的中点，试过点M，N 做平行于 AC 的平面 ，要求：（1）画出平面 分别与平面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交线；（2）试对你的画法给出证明19 （1
6、2 分）有一条东西方向的河流，在岸边设探照灯 P，PO 垂直于地面 ，灯光 PAXOY射向正东北方向，且与地面成 60 角，求灯光 PA 与河岸 OX 所成角的余弦APCB FNOPAYC XB20 （10 分）直角三角形 ABC 中， A=90，AB=2AC ， Q 为 AB 上一点，QB= AC，P54为平面 ABC 外一点，且 PB=PC，求证：PQBC21 （14 分）若直线 L 与平面 内三条两两相交的直线 a,b,c 所成的角相等.求证:L .22 （16 分）正方形 ABCD 中，AB=2，E、F 分别是边 AB 及 BC 的中点，将AED 及DCF 折起（如图） ，使 A、C
7、点重合于 点.（）证明 DEF； B QM（）求三棱锥 EFD 的体积；A（）求 D 与平面 DEF 所成角的正切值.参考答案一、 选择题（本题每小题 5 分，共 60 分）BCDA ADAA BDBB3解 取 AB=1，AD=2， ，验算即得仅 D 适合1A7解 由于所成角的余弦值都是 ，因此所成角的弧度数只有 1 种38解 取锐角 AB C，设其垂心为 H，过 H 作直线 k，使 k 与平面 ABC 垂直，设 CP 是ABC 的一条高，在 l 上取一点 D，使DPC 是锐角三角形，并作 CQ DP，CQ 与 l 交于 E，则 A、B 、C、D、E 这五个点中任意两点的连线与其他三点确定的平
8、面垂直10 解 当直线 a 与 P 点确定的平面 与 b 平行时，过 P 点所作的与 a 相交的直线都在 内，不可能与 b 相交，因此命题不正确；同样，在这种情况下，过 P 点作与 b 平行的平面恰是 ， 通过 a与 a 并不平行，因此命题也不正确12解 因为棱锥的各侧棱与底面所成角相等，所以顶点在底面内的射影是底面四边形的外接圆圆心，底面四边形 ABCD 是圆内接四边形。设 A：B：C=2：3：4，由于 A+C=180 ，因此A=60 ， C=120 ，B=D=90 ，最小角为 A=60 二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分）13解 平行或异面14解 BD/ ；由图可知 B，D 两点
9、到平面 的距离都是 3，故 BD/ CBAD15解 6； 提示：正方体的中心 O 关于六个面的对称点均合条件，故所求的点共有 6 个；平面 M 有.3无数个，其中一个是平面 ，恒有CAB1sin.316解 . 设长方体中过同一个顶点的三条棱长分别是 x，y ，z，则体对角线 l= l 22zyx注意到由 a2+b2 2ab，b 2+c2 2bc，c 2+a2 2ca 可导出 2（a 2+b2+c2） 2（ab+bc+ ca）3（a 2+b2+c2） （a+ b+c） 2 以 代入上式，便得cyx,3（x 2+y2）+（y 2+z2）+ （z 2+x2） （ ） 2，z即 6l2 （ ） 2 ，
10、zy2xyxl6不等式左端即体对角线在相邻三个面上的射影的和三、解答题（共 74 分）17证明 若四点 A，B，C，D 不在同一平面内，设 A 点在平面 BCD 内的射影（垂足）为 O，则AOBC，又 BCAB，BC 面 AOB，BC OB；同理 DCOD 222,;OBD但 ，矛盾故四点, ,O2B2A，B ，C，D 在同一平面内，即四边形 ABCD 是矩形18解 （1）过 N 点作 NE/AC 交 BC 于 E，过 M 点作 MF/AC 交 PC 于 F，连结 EF，则平面 MNEF 为平行于 AC 的平面 ，NE，EF，MF 分别是平面 与平面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交线
11、（2）NE/AC，MF/AC， NE/MF. 直线 NE 与 MF 共面，NE，EF，MF 分别是平面 MNEF 与平面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交线NE/AC，NE 平面 MNEF，AC/平面 MNEF平面 MNEF 为所求的平面 解 PO平面 XOY，PAO 是灯光 PA 和地面所成的角，从而 PAO=60， AOX=45。作ABOY 于 B，AB/OX，故 PAB 是灯光与河岸所成的角设 PA=a,则 OA=PAcos60= a,AB=OAsin45=12a.在 RtPBA 中 cosPAB=2424ABP20证明：取 BC 中点 M，连接 PM，QM，令 AC=1，则 B
12、Q= ，AB=2AC=2，QA=2- =54543QC= = 。QC=QB， QMBC。又PM BC，BC 平面22314QAC5PMQ，BCPQ2 1 证明 直线 L 与平面 内的两两相交的直线 a,b,c 所成的角相等，L ，L 与 相交不妨设直线 a,b,c 都过 L 与平面 的交点 O。在 a,b,c 上分别 A，B，C ，使得 OA=OB=OC。在 L 上取一点 P，则POA=POB=POC，POAPOB POC，则 PA=PB=PC。取 AB，BC 的中点分别为 E，F ，则PEAB，PFBC，且 OEAB，OF BC，又PEOE=E，PFOF=F，AB平面 POE，BC 平面 POF.则LAB， LBC 而 ABBC=B，L caOPABE22证明 （） D E， D F， D平面 EF， DEFAAA（） D平面 EF D 的长为三棱锥D EF 的高. E= F=1，又 EF ， 2E F=90， 31231 SVEFAEFA（）取 EF 中点 G，连 G，DG， E= F=1，E F=90， GEF ，得 GA又 GEF，EF 平面 DG，平面 DEF平面 DG. 作 HDG 于 H， 得.2A H平面 DEF， DG 为 D 与平面 DEF 所成角在 Rt DG 中， ， D=2 2DG tg4
