1、指数函数（二）教学目标：使学生巩固指数函数性质的理解与掌握、并能应用；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。教学重点：指数函数的性质的应用教学难点：指数函数的性质的应用教学过程：教学目标(一)教学知识点1.指数形式的函数.2.同底数幂.(二)能力训练要求1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质.2.掌握指数形式的函数求定义域、值域.3.掌握比较同底数幂大小的方法.4.培养学生数学应用意识.(三)德育渗透目标1.认识事物在一定条件下的相互转化.2.会用联系的观点看问题.教学重点比较同
2、底幂大小.教学难点底数不同的两幂值比较大小.教学方法启发引导式启发学生根据指数函数的形式特点来理解指数形式的函数，并能够利用指数函数的定义域、值域，结合指数函数的图象，进行同底数幂的大小的比较.在对不同底指数比较大小时，应引导学生联系同底幂大小比较的方法，恰当地寻求中间过渡量，将不同底幂转化同底幂来比较大小，从而加深学生对同底数幂比较大小的方法的认识.教具准备幻灯片三张第一张：指数函数的定义、图象、性质(记作2.6.2 A)第二张：例 3(记作2.6.2B）第三张：例 4(记作2.6.2 C）教学过程.复习回顾师上一节，我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质，现在进行一下回顾.(打出幻灯片内
3、容为指数函数的概念、图象、性质)a1 0a1图象(1)定义域：R(2)值域：(0 ， )(3)过点(0 ，1)性质(4)在 R 上增函数 (4)在 R 上减函数师这一节，我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用.讲授新课例 3求下列函数的定义域、值域(1)y= ；14.0x(2)y= .5(3)y=2x+1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围.解：(1)由 x10 得 x1所以，所求函数定义域为xx1由 0 得 y1所以，所求函数值域为yy0 且 y1评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可
4、以令 =t.考查指数函数 y=0.4t，并结1x合图象直观地得到，以下两题可作类似处理.(2)由 5x10 得 x 51所以，所求函数定义域为xx 由 0 得 y1所以，所求函数值域为yy1(3)所求函数定义域为 R由 2x0 可得 2x+11所以，所求函数值域为yy1师通过此例题的训练，大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性.例 4比较下列各题中两个值的大小(1)1.72.5,1.73(2)0.80.1 ,0.80.2(3)1.70.3，0.9 3.1要求：学生练习(1)、(2) ，并对照课本解答，尝试总结比较同底数幂大小的
5、方法以及一般步骤.解：(1)考查指数函数 y=1.7x又由于底数 1.71，所以指数函数 y=1.7x 在 R 上是增函数2.53 1.7 2.51.7 3(2)考查指数函数 y=0.8x由于 00.81,所以指数函数 y=0.8x 在 R 上是减函数.0.10.2 0.8 0.1 0.8 0.2师对上述解题过程，可总结出比较同底数幂大小的方法，即利用指数函数的单调性，其基本步骤如下：(1)确定所要考查的指数函数；(2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系.解：(3)由指数函数的性质知：1.70.31.7 0=1, 0.93
6、.10.9 0=1,即 1.70.31，0.9 3.11，1.7 0.30.9 3.1.说明：此题难点在于解题思路的确定，即如何找到中间值进行比较.(3)题与中间值 1 进行比较，这一点可由指数函数性质，也可由指数函数的图象得出，与 1 比较时，还是采用同底数幂比较大小的方法，注意强调学生掌握此题中“1”的灵活变形技巧.师接下来，我们通过练习进一步熟悉并掌握本节方法.课堂练习1.课本 P78 练习 2求下列函数的定义域(1)y ;x13(2)y5 .解：(1)由 有意义可得 x0x故所求函数定义域为xx0(2)由 x10得 x1故所求函数定义域为xx1.2.习题 2.6 2比较下列各题中两个值
7、的大小(1)30.8，3 0.7(2)0.750.1 ，0.75 0.1(3)1.012.7，1.01 3.5(4)0. 3.3，0. 4.5解：(1)考查函数 y3 x由于 31，所以指数函数 y3 x 在 R 上是增函数.0.80.73 0.83 0.7(2)考查函数 y0.75 x由于 00.751，所以指数函数 y0.75 x 在 R 上是减函数.0.10.10.75 0.1 0.75 0.1(3)考查函数 y1.01 x由于 1.011，所以指数函数 y1.01 x 在 R 上是增函数.2.73.51.01 2.71.01 3.5(4)考查函数 y0. x由于 00.1，所以指数函数
8、 y0. x 在 R 上是减函数.3.34.50. 3.30. 4.5.课时小结师通过本节学习，掌握指数函数的性质应用，并能比较同底数幂的大小，提高应用函数知识的能力.课后作业（一）课本 P78 习题 2.61.求下列函数的定义域(1)y2 3x (2)y3 2x1(3)y（ ） 5x(4)y x17.0解：(1)所求定义域为 R.(2)所求定义域为 R.(3)所求定义域为 R.(4)由 x0 得所求函数定义域为xx0.3.已知下列不等式，比较 m、 n 的大小(1)2m2 n(2)0.2m0.2 n(3)ama n（0 a1）(4)ama n（a 1）解：(1)考查函数 y2 x21，函数
9、y2 x 在 R 上是增函数.2 m2 nmn；(2)考查函数 y0.2 x00.21指数函数 y0.2 x 在 R 上是减函数.0.2 m0.2 nmn；(3)考查函数 ya x0a1函数 ya x 在 R 上是减函数.a ma nmn；(4)考查函数 ya xa1函数 ya x 在 R 上是增函数，a ma nmn.（二）1.预习内容：函数单调性、奇偶性概念2.预习提纲(1)函数单调性，奇偶性的概念.(2)函数奇偶性概念.(3)函数单调性，奇偶性的证明通法是什么?写出基本的证明步骤.板书设计2.6.2 指数函数的性质应用(一)1.比较同底数幂的方法：利用函数的单调性.例 3 例 4(1)
10、(1)(2) (2)(3) (3)2.基本步骤(1)确定所要考查的指数函数.(2)确定考查函数的单调性.(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性.3.学生练习.复习引入指数函数的定义与性质.讲授新课例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留一个有效数字）.解：先求出函数关系式：设这种物质最初的质量是1，经过 x 年，剩留量是 y. 那么经过1年，剩留量y184%0.84 1;经过2年，剩留量y0.8484%0.84 2;经过x年，剩留量y 0.84 x（x0）.描点
11、作图：根据函数关系式列表如下：x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 根据上表描点作出指数函数y0.84 x（x0）的图象（图略）.从图上看出y0.5，只需x4.答：约经过4年，剩留量是原来的一半.例 2求下列函数的定义域和值域： y y （ ）1 ax12 3x活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论定义域值域，然后准确解答，教师引导、整理解：要使函数有意义，必须 1a x0，即 ax1 当 a1 时 x0； 当 0a1 时 x0 a x 0 01a x1 值域为 0y 1 要使函数有意义，必须 x30 即 x3
12、0 y （ ） （ ） 011x 3 12 x12又y0 值域为 （0，1）（1，）例 3求函数 y（ ） 的单调区间，并证明12 x活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论单调区间，然后准确解答，教师引导、整理（图见上）解（用复合函数的单调性）：设：ux 22x 则：y （ ） u12对任意的 1x 1x 2，有 u1u 2，又y （ ） u 是减函数12y 1y 2 y （ ） 在 1，）是减函数12 x对任意的 x1x 21，有 u1u 2，又y （ ） u 是减函数12y 1y 2 y（ ） 在1，）是增函数12 x引申：求函数 y（ ） 的值域 （0y2） 12.
13、课堂总结对于函数 yf（ u）和 ug（x） ，如果 ug（x）在区间（a，b）上是具有单调性，当x（a，b）时， u（m ，n） ，且 yf（u）在区间（m ， n）上也具有单调性，则复合函数yf （g（x） ）在区间（a，b）具有单调性：若 ug（x）在（a，b）上单调递增，yf （u）在（m，n）上单调递增，则复合函数 yf（g（x） ）在区间（a，b）上单调递增；若 ug（x）在（a，b）上单调递增，yf （u）在（m，n）上单调递减，则复合函数 yf（g（x） ）在区间（a，b）上单调递减；若 ug（x）在（a，b）上单调递减，yf （u）在（m，n）上单调递增，则复合函数 yf（g
14、（x） ）在区间（a，b）上单调递减；若 ug（x）在（a，b）上单调递减，yf （u）在（m，n）上单调递减，则复合函数 yf（g（x） ）在区间（a，b）上单调递增；复合函数单调性的规律见下表：yf（ u） 增 减 u g（x） 增 减 增 减 yf（g（x） ）增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.活动设计：教师提出问题，学生思考、分析讨论，教师引导、整理下面只证明 设 x1、x 2（a，b） ，且 x1x 2ug（x）在（a，b）上是增函数，g（x 1）g（x 2） ，且 g（x 1） 、g（x 2）（m，n）yf（u）在（ m，n）上是增函数，f （g（x 1） ）f（g（x 2） ）.所以复合函数 yf（g（x） ）在区间（a，b）上是增函数。. 课后作业课本P 54 习题：3，4，5，6.
