1、数学活动一、内容和内容解析1内容用函数模型描述和解决实际问题2内容解析函数是反应变量之间对应关系和变化规律的重要模型它在研究自然界和现实生活中的变化规律，解决相关问题中有着广泛的应用利用函数模型解决问题的基本过程：设变量(自变量和因变量)，建立因变量与自变量的函数关系，把实际问题转化为函数问题；其次，研究函数性质，把握变量之间的对应关系和变化规律，解决函数问题；第三，解释函数问题解的实际意义，得到实际问题的解这种利用函数模型解决问题的过程如图 1实际问题 函数问题设变量找对应关系函数问题的解实际问题的解 解释实际意义图 1实际的运动变化过程，在开始时往往不知道两个变量之间有什么数量关系，也不能
2、确定是哪一类函数，但我们通常可以从两个变量的几组对应值入手，在直角坐标系中画出对应的点，用数形结合的方法，选择适当的函数模型进行拟合，从而近似地把握运动变化的规律具体的步骤是：(1)确定自变量取某些值时对应的函数值，列表表示这些变量值之间的对应关系(收集数据)；(2)以(1)中得到的变量对应值为坐标，在平面直角坐标系中画出对应的点(画散点图)；(3)观察散点图，判断变化过程大致是哪类函数，设出适当的函数模型；(4)用待定系数法求出函数模型；(5)检验得到的函数模型是否符合实际，若符合，则可以确定实际问题中的函数模型；若不符合，则回到第(1)步，从第(1)步起加以改进教科书安排的两个数学活动，都
3、需要采用上述方法建立函数模型，在确定函数解析式后，分析实际问题中变量的变化规律和变化趋势函数模型的这种应用，能够由部分把握整体，由现在回溯过去，并把握未来，因此它成为研究运动变化规律的强大工具本课的教学重点是：根据两个变量的部分对应值建立函数模型，体会函数模拟的思想方法二、目标和目标解析1目标(1)会根据两个变量的部分对应值建立函数模型(2)会用一次函数模型描述和研究实际问题中的运动变化规律(3)经历根据两个变量的部分对应数据建立函数模型的过程，体会函数建型过程中的归纳思想、数形结合思想；初步体会函数模拟思想2目标解析本节内容属于实践与综合应用领域，是解决问题的教学，而不单纯是一次函数的应用目
4、标(1)要求能根据实际问题确定两个变量的一些对应值，通过对应关系数据收集画散点图设函数解析式求函数解析式的步骤确定实际问题的函数解析式目标(2)要求能研究得到的函数解析式，把握变化过程的变化规律和变化趋势，解决实际问题目标(3)要求在解决问题过程中，体会通过画散点图获得函数模型的直观判断，初步体会求出的函数解析式往往只能大致描述变化规律；通过待定法求函数解析式；通过检验确定得到的函数模型是否符合实际是获得最佳函数模型的关键操作三、教学问题诊断分析本课中安排的两个研究主题属于函数模拟活动，学生没有经历过要完成函数模拟过程，需要熟练掌握函数的有关知识，比较深刻地领会函数模型的属性在前面学习中解决的
5、问题，要么可以根据问题中的数量关系可以直接列出函数解析式，要么知道是一次函数，然后用待定系数法确定函数解析式本数学活动中的两个问题，一开始并不知道具体的变量之间的数量关系，也不能确定是否是一次函数因此，学生面对这样具有挑战性的，没有现成套路的实际问题，往往难以形成解决问题的策略，不知道从哪里下手，这需要教师的合理引导因此，可确定本课的难点：根据实际问题情境探索建立函数模型的思路四、教学过程设计(一)课前准备，收集数据问题 1 一个水龙头漏水，有人认为漏这一点水没有什么大不了，你也这样认为吗？为估计该水龙头一个月(按 30 天计)的漏水量，请分小组用 500 ml 的量杯测量某一水龙头的漏水量，
6、每 3 min 观察一次，获得一组漏水时间和漏水量的数据，并填写下表：t/min 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30漏水量 y/ml师生活动：指导学生分小组进行数据收集，不同的小组可以按不同的时间间隙测量漏水量，获得不同的数据但所有小组要测量同一龙头的漏水量，便于不同小组间研究结果的讨论交流设计意图：把数据收集获得放到课外进行，让学生小组合作，预先先进行讨论和研究(二)展示数据，引导思考问题 2 请各组展示收集的数据，说说解决问题的基本思路师生活动：各小组展示其数据收集结果，介绍解决问题的大致思路，如果学生没有思路，教师采用追问形式加以引导下面是某小组得到的数据：t/min
7、3 6 9 12 15 18 21 24 27 30漏水量 y/ml 30 60 88 120 150 180 200 240 270 300追问 1：通过测量，得到了漏水时间和漏水量的某些对应值，如何估算出 30 天的漏水量呢？追问 2：有了变量之间的部分对应值，要求其余对应值，我们需要做什么？追问 3：以前我们学过，会根据实际问题中告诉我们的数量关系求函数式，在已知是一次函数的情况下，还可以用待定系数法求函数式上面问题中，告诉我们数量关系了吗？告诉我们是一次函数了吗？追问 4：回头看收集到的数据，从表格看可能不明显，如果把表格转换为图象，在坐标平面内画出这些对应值表示的点，可能会看得更清楚
8、，试一试！追问 5：看图形，请判断，y 与 t 之间最可能是什么函数？ 追问 6：知道了这个函数最可能是一次函数，而且知道了多组对应值，可以用什么方法求函数解析式？设计意图：以某一组得到的数据为样本，思考解决问题的方法，是为了大家可以在同一问题平台上进行交流(三)解决问题，相互交流1学生分组求函数解析式，解决问题2展示成果，相互交流(1)分组汇报估计值，展示研究过程(2)引导质疑问题 3 各小组通过努力，解决了问题，发现滴水之漏，随着时间累积，浪费巨大刚才交流过程中，各小组得到的函数解析式不尽相同，结果也不尽相同，为什么？师生活动：引导学生分析原因：(1)收集到的数据不同；(2)函数解析式不符
9、合实际情况(收集到的数据不满足函数关系)；(3)计算错误(包括时间和漏水量单位换算错误)设计意图：引导学生反思解决问题的过程，分析自己解决问题过程的合理性，提出检验函数解析式是否符合实际情况(使数据满足函数关系)的问题追问：怎样检验得到的函数解析式是否符合实际意义？师生活动：用收集到的数据进行检验，看看平面直角坐标系中的这些散点是否紧密地分布在得到的直线附近设计意图：让学生初步体会到检验、修正函数模型的必要性(四)回顾总结，初步体会问题 4 回顾解决问题的过程，想想我们分了哪些步骤？师生活动：教师引导学生总结：收集数据画散点图选择函数求函数式(待定系数)得到结论检验追问：如果从函数观点看所研究
10、的问题，实际上我们做了什么？师生活动：判断函数类型，求函数解析式，求函数值，基于函数关系的变化规律分析设计意图：总结经历，积累经验，初步体会函数模拟的思想(五)迁移应用，深化理解请独立解决下面问题，并与同伴交流你的结论问题 5 (1)根据下表数据，在平面直角坐标系中画出世界人口增长曲线图；(2)选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的函数解析式；(3)按照这样的增长趋势，估计 2 020 年的世界人口总数年份/年 1 960 1 974 1 987 1 999 2 010人口数/亿 30 40 50 60 69师生活动：教师给学生提供适当的平面直角坐标系，引导学生画出散点图，尝试经过不同
11、的两点画直线，观察哪条直线拟合较好，选择适当的两点求出函数解析式设计意图：迁移应用，体会函数拟合过程，通过画图选择合理的直线描述变化规律和变化趋势(六)课堂小结，深化提高本课我们学习了解决一类新的问题，请带着下面问题总结经验：(1)这一类新的问题有什么特点？(2)这里问题解决怎样进行？分了哪些步骤？(3)从这类新问题的解决过程中，你对应用函数解决问题有哪些体会？你认为建立函数模型在解决实际问题时有什么作用？设计意图：问题(1)引导学生回顾函数模拟问题的特点：一开始，不知道是什么函数，也没有告知数量关系，需要自己根据数据收集进行判断问题(2)引导学生回顾利用函数模拟解决问题的步骤和方法：数据收集(列对应值表)画散点图判断函数类型求函数解析式得到结论检验问题(3)引导学生体会通过建立函数模型，能由部分把握整体，由现在追溯过去，并预测未来
