1、从三个方面谈空间向量立体几何引入空间向量使得几何问题代数化，很多复杂的几何问题得以迎刃而解但不少学生对空间向量的学习把握不准确，不知道要掌握到什么程度，拓宽到什么程度本文从“转、基、法”三方面谈空间向量必须掌握之处，供参阅一、 “转”“转”即转化，即向量之间的相互表示；难点在于怎样有效地用已知向量来表示未知向量正如三角函数求值中角的相互“转化” ，怎样用已知角来代换未知角难点突破：寻找已知向量来表示所要求的向量往往立竿见影或者利用分析法，根据所要求证的向量来表示要转化的向量例 1 如图 1，在空间四边形 ABCD 中，如果22ACBD，求证： ABCD证明：由22ABD，得2，即 ()()()
2、()ACDCA，取 CD 的中点 E，连结 AE 和 BE，则上式化为2B，得 2()0EB，即 A所以 评注：要得到 CD，需从条件中构造，解答中的移项使得构造得以实现二、 “基”“基”即基底，由空间向量基本定理，可知空间任一向量可由不共面的三个向量来表示用基底的眼光看问题会使得空间向量的表示简洁明朗化例 2 已知正四面体 OAB， 、 分别为 AB、 OC的中点，求 E与 BF所成角的余弦值解：设正四面体 C的棱长为 1，如图 2设 Aa，b， c，则 12bc，1()2OEBF， c12AAab1122c， 2cos3OEBFA， OE 与 BF 所成的角的余弦值为 评注：基底的取法还有
3、很多，以 Aa， OBb， Cc三向量为基底来表示其它向量，可使问题轻松获解三、 “法”法向量求法：设 ()xyz， ，n，找平面 内两相交向量 a、 b，再作 0An，0Abn，得两方程，三个未知量两个方程，一般通过取定 z 的值来定法向量， z方向朝上， z方向朝下法向量的应用：（一）利用平面法向量求线面角方法：如图 3， AB 为平面 的斜线， n 为平面 的法向量如果 AB与 n 之间所成的角 为锐角，则斜线 AB 与平面 之间所成的角为 2；若为钝角（当 n 方向朝另一面时，即与图 3 的 n 反向时） ，则 故欲求斜线 AB 与平面 所成的角，只需求出向量 AB与平面 的法向量 n
4、 之间的夹角即可总之 2例 3 在长方体 1ABCD中， 4AB， 3C， 12B，求直线 1AB和平面 1所成角的正弦值解：如图 4，以 D 为原点，以 1， ，方向分别作为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，则 1(302)()(0)(40)ABC， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1 132(342)A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设平面 1CD的法向量 ()nxyz， ， ，则10DAC，n，即 3204xzy， 故23xyz，是其中一组解，即 (3)， ，n为其中一个法向量，所以 1165cosAB， 故所求角的正弦值为 365（二）利用平面法向量求二面角的平
5、面角方法：如图 5，平面 ， 的法向量 12，n所成的角即为二面角 l的平面角（或其补角） 例 4 在正方体 1ABCD中， 、 分别是 1AB， 的中点，求平面1CPQ和底面 所成锐二面角的余弦值解：建立空间直角坐标系 xyz，如图 6 所示由例 3 的方法，容易求得平面 1PQC的法向量 1(32)， ，n，底面 ABCD的法向量2(01)， ，n，所以 12127cosA， n，即为所求角的余弦值（三）利用平面法向量求点到平面的距离方法：如图 7，求点 P 到平面 的距离 d，可以在平面 上任意取一点 ，则 cosdAA， n（ n 为平面 的法向量，方向如图） 若不知 n 与AP夹角为
6、锐角或钝角时， cosAPDAP， n例 5 如图 8，四面体 ABCD中， 、 分别是 BD、 BC 的中点，2CAB， 2（1）求证： O平面 ；（2）求点 到平面 的距离（1）证明：连结 OC， ， A， OBD， D， C， BD在 A 中，由已知可得3， ，而 2A， 22O， 90O，即 AC BDC， 平面 BD；（2）解：以 为原点，如图 8 建立空间直角坐标系设平面 A的法向量为 ()xyz， ，n，则()10(3)xyzC， ， ， ， ， ， ， ， ，n03， 令 1，得 ， ， 是平面 ACD的一个法向量又 02E， ， ，点 到平面 ACD的距离 3217EdAn评注：求线面距、面面距时，可先转化为点面距，再用此法求解（四）求异面直线的距离方法：先求出同时与两异面直线垂直的向量 n，然后在两异面直线上分别任取点 、 ，则 cosABdAB， n。例 6 已知正方体 1CD的棱长为 1，求直线 1DA与 C的距离解：建立坐标系 1xyz，如图 9 所示则点 1(0)()(0)()AA， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则 1 1CD， ， ， ， ， ， ， ， ，设 ()xyz， ，n为与 与 1同时垂直的向量，即 0， 故 ()， ，n为其中一个向量，131Ad所以直线 1D与 C的距离为
