1、学好四法易抓“轨”求动点的轨迹方程问题是解析几何的基本问题求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系这类问题除了考查学生对一些常见曲线的定义、性质等基础知识的掌握以外，还充分考查了各种数学思想方法及其一定的推理能力和运算能力求动点的轨迹方程经常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法等，下面举例说明一、直接法直接法是求轨迹方程最基本的方法，它是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，建立 x、 y 之间的关系，化简即得动点轨迹方程 ()fxy， 例 1 已知直角坐标平面上点 (20)Q， 和圆 2:1Cxy，动点 M到
2、圆 C的切线长与MQ的比等于常数 ()求动点 M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解：如图 1，设直线 N切圆于 点，则动点 组成的集合是：|P（ 0为常数） 因为圆的半径 O，所以 22221MM设点 的坐标为 ()xy， ，则 221xy，整理，得 22()4()0xyx，当 =1 时，方程化为 5，它表示一条直线；当 1时，方程化为2213()xy，它表示圆心在201，半径为23的圆评注：本题考查曲线与方程的关系、轨迹的概念等解析几何的基本思想以及分类讨论的思想、方程的思想，还有综合运用知识的能力二、定义法若动点轨迹的条件符合某一轨迹的定义，可用定义直接探求例 2 某检验员通常用一个直径为
3、 2cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为 3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解：设直径为 3，2，1 的三圆圆心分别为 O、 A、 B，问题转化为求两等圆 P、 Q，使它们与 OA相内切，与 AB， 相外切建立如图 2 所示的坐标系，并设 A的半径为 r，则 1.52.Pr， 0.5O点 在以 A、 O 为焦点，长轴长 2.5 的椭圆上，其方程为216453xy同理点 P 也在以 O、 B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆上，其方程为21xy由、可解得 9664717Q， ， ， ，2331r故所求圆柱的直径为 67
4、cm评注：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，圆锥曲线的定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题该题综合了解析几何、平面几何、立体几何的相关知识三、相关点法（代换法） 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程其特点是：动点 ()Mxy，的坐标取决于已知曲线 C上的点 ()xy， 的坐标，可先用 x， y 来表示 xy， ，再代入曲线 C的方程，即得点 M的轨迹方程例 3 在椭圆2169xy内，有一内接三角形 ABC，它的一边 与长轴重合，点A在椭圆上运动，试求 AB 的重心轨迹解：如图 3，设重心 ()Pxy， 及 1()， ，
5、则 AO 是 的中线，根据三角形重心公式与定比分点定义，有 32O，则有： 1302x， 1032y点 A在椭圆上（不包括 BC， 两点） ，22(3)1(0)169xy，2()是所求点的轨迹方程，且所求点的轨迹是一个中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆（去除长轴的两端点） 评注：当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成时，应用转移法求点的轨迹比较合适四、参数法若动点的坐标 ()xy， 中的 ， 分别随另一变量的变化而变化，我们可以用这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，因为参数不同，运算量不同
6、，常见的参数有：角度、直线的斜率、点的纵（横）坐标、线段的长度等例 4 如图 4，设点 A 和 B 为抛物线 24(0)ypx上除原点以外的两个动点，已知OAB， M，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解：设 12()()()xy， ， ， ， ， ，由题意可知直线 的斜率不等于零，故设直线 的方程为 myb由 24xybp，消去 y，得 222(4)0xpxb所以 12消去 x，得 40ympb，所以 12由 OAB，即 O，得 120xy240bp， 4bp故 xmy由 OMAB，得 yx因为 A、 是异于原点的点，所以 0用 (0)yx，代入 4mp，得240()xypx故点 M 的轨迹方程为 240()ypx，它表示以 (20)p， 为圆心，以 2p为半径的圆（去掉坐标原点） 评注：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查，对运算、化简能力要求也较高
