1、12.3 角平分线的性质(第 2 课时)一、内容和内容解析1内容角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上2内容解析在学生已经学习了角平分线性质的基础上，本节课进一步研究角平分线性质定理的逆定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习圆的内心的基础在本节课中，教科书先提出了一个实际背景的问题，学生学习了角的平分线的性质，可能猜想到集贸市场应建在公路和铁路夹角的平分线上接着，教科书从另一个角度引导将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，所得的结论是否仍然成立？这就引出了本节课的主要内容然后，让学生利用全等三角形的知识证明结论角平分线性质定理的逆定理
2、是角平分线的方法之一基于以上分析，本节课的教学重点是：角平分线性质定理的逆定理二、目标和目标解析1目标(1)探索并证明角平分线性质定理的逆定理.(2)会用角平分线性质定理的逆定理解决问题2目标解析达成目标(1)的标志是：学生通过解决实际问题中获得的启示，和将角的平分线的性质的题设和结论交换位置，获得“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的结论，并能用三角形全等证明这一结论达成目标(2)的标志是：学生能用角平分线性质定理的逆定理判定角平分线三、教学问题诊断分析 在本节课的学习中，学生可能出现两个问题：一是在推理过程中不能准确说出推理的依据是角平分线的性质，还是其逆定理；二是运用角平分线
3、性质定理的逆定理解决问题时，学生可能会漏掉部分条件基于以上分析，本课的教学难点是：准确理解角平分线性质定理的逆定理四、教学过程设计引言 问题 1 如图 1，要在 S 区建一个广告牌 P，使它到两条公路的距离相等，离两条公路交叉处 500 m请你帮忙设计一下，这个广告牌应建在何处 (在图上标出它的位置，比例尺为 120 000)S公路 S 公路OA B图 1 图 2师生活动：教师展示图片，引导学生将两条公路抽象为两条相交线，建立如图 2 所示的几何模型当学生为确定广告牌 P 的位置感到疑惑时，教师提示：到角两边的距离相等的点应在角的平分线上设计意图：借助已有的几何知识从实际问题中发现数学问题，抽
4、象出数学模型，让学生感知数学与实际生活息息相关同 时，可引出本 节课研究的主 题角平分线性质定理的逆定理1探索并证明角平分线性质定理的逆定理问题 2 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？师生活动：学生回答：到角的两边距离相等的点在角的平分线上学生猜想结论是正确的追问 1：你能证明这个结论的正确性吗？ 师生活动：教师先让学生画出图形，用符号语言表述已知和求证，再让学生自己完成证明，请一位学生在黑板上板演教师重点关注学生能否按照证明几何命题的一般步骤完成证明，以及学生书写的证明过程是否严谨教师归纳结论：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上追问 2：这
5、个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？师生活动：学生小组交流，师生共同总结：这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等设计意图：让学生利用前面学过的图形的判定和性质的关系，自己得到角的平分线的性质定理的逆定理，并按照证 明几何命题的一般步骤完成 证明最后 让学生明确角的平分线的性质与判定在应用上的区别2应用角平分线性质定理的逆定理练习(1)判断题：如图 3，若 PMPN，则 OQ 平分AOB ( )如图 4，若 PMOA ，PNOB，垂足分别为点 M，N，则 OQ 是AOB 的平分线( )OABCMNPOABMNQ图 3 图 4已知点 Q 到 OA 的距离等于 2
6、cm，到 OB 的距离等于 2 cm，则点 Q 在AOB 的平分线上 ( )(2)在问题 1 中，在 S 区再建一个广告牌 Q，使它到两条公路的距离相等这个广告牌 Q 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？若这个广告牌 Q 离两条公路交叉处 100 m(在图上标出它的位置，比例尺为 1：20 000)，应建于何处？(3)如图 5，点 P 是ABC 的两条角平分线 BM，CN 的交点， 点 P 在BAC 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？NPMAB C图 5师生活动：学生回答对于练习(3)，教师归纳：要说明三线共点时，常常先找出其中两直线的交点，再说明此点在第三条直线上设计意图：
7、在练习(1)中，有意 删减定理的条件， 让学生明确定理中的条件缺一不可练习(2)既解决了课前提出的问题，也能 为后面的学习作铺垫 练习(3)既应用了角的性质定理的逆定理，又得到了三条角平分线交于一点的结论问题 3 如图 6，要在 S 区建一个广告牌 P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相 等这个广告牌 P 应建在何处？公路 公路铁路S图 6师生活动：学生分组讨论交流，师生共同总结：在 S 区内，要使广告牌 P 到两条公路的距离相等，则广告牌 P 应建在两条公路所夹角的角平分线上；要使广告牌 P 到一条公路和一条铁路的距离相等，则广告牌 P 应建在它们所夹角的角平分线上所以，广告牌 P 应建在这
8、两条角平分线的交点上设计意图：与问题 1 相呼应，学生再次体 验从实际背景中抽象出数学 问题、构建数学模型，从而解决问题的过程3变式拓展变式 1 如图 7，ABC 的一个外角的平分线 BM 与BAC 的平分线 AN 相交于点 P，求证：点 P 在ABC 另一个外角的平分线上变式 2 如图 8，点 P 是ABC 的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在BAC 的平分线上变式 3 如图 9，将问题 3 中“S 区”去掉，广告牌 P 到两条公路和一条铁路的距离都相等，这个广告牌应建在何处？PB CAMNPB CAN M 公路铁路公路图 7 图 8 图 9师生活动：学生完成变式练习，教师
9、点评设计意图：这三个变式题都是由教科书第 50 页例题变形而得到的，都要过交点向三边所在的直线作垂线段，从而进 一步巩固角平分线的性质定理和逆定理 4归纳小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些内容？(2)本节课的结论与角平分线的性质定理的区别和联系是什么？(3) 应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？ 设计意图：通过小结，让学生理解角平分 线性质定理的逆定理，总结在应用它时的常用方法 5. 布置作业教科书习题 12.3 第 3，7 题五、目标检测设计1如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 到射线 OA，OB 的距离相等BNAOM设计意图：考查学生应用角平分线性质定理的逆定理的能力2如图，ABAC ， BEAC 于 ， CFAB ， 垂足分别为点 E，F，BE，CF 交于点 D，则(1)ABE ACF；(2) BDFCDE；(3)点 D 在BAC 的平分线上以上结论正确的是( )A只有(1) B只有(2)C只有(1)(2) D只有(1)(2)(3)AB CF E设计意图：考查学生综合应用三角形全等的判定定理和角平分线性质定理的逆定理的能力3如图，AB/CD，C90，M 是 BC 中点，DM 平分ADC求证： AM 平分DAB CMA BD设计意图：考查学生应用角平线性质定理及其逆定理的能力
