1、27.2.1 相似三角形的判定学习目标、重点、难点【学习目标】1掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）2掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法3会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题【重点难点】1相似三角形的定义与三角形相似的预备定理2运用三角形相似的条件解决简单的问题知识概览图定义及表示方法两个三角形的三组对应边的比相等两个三
2、角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等两个三角形有两对对应角相等相似三角形的性质：对应角相等，对应边的比相等新课导引【生活链接】 小明为了迎接世界中学生数学大会的召开，制作了一个如右图所示形状的花束，三边长分别是 35 cm，40 cm，50 cm，小丽也想制作一个这样形状的花束，但她手中只有一根长 100 cm 的木条，她应该怎么制作呢?【问题探究】 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似，但是定义中条件较多，过于苛刻，你能减少定义中的条件来判断两个三角形相似吗? 教材精华知识点 1 相似三角形相似三角形是形状相同的三角形，它们的对应角都相等，对应边的比都相
3、等如图 2710 所示， ABC 与 DEF 的形状相同，大小不同，这两个三角形相似，所以 A D， B E， C F， ABCDEF拓展 相似三角形的定义既是最基本的判定方法，也是最重要的性质知识点 2 相似三角形的表示方法 ABC 与 DEF 相似，可以写成 ABC DEF，也可以写成 DEF ABC，读作“ABC 相似于 DEF”或“ DEF 相似于 ABC”拓展 用“”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上，如图 2710 所示，表示 ABC 与 DEF 相似， A 的对应角是 D， B 的对应角是 E， C 的对应角是 F，即 ABC DEF，而不要写成 ABC
4、EFD，如果把 ABC 写成 BAC，那么就应该记作 BAC EDF，这样做的目的是为了指明对应角、对应边相似三角形 相似三角形的判定知识点 3 三角形的相似比两个三角形相似，对应边的比叫做相似比例如:若 ABC DEF，则 设比值为 k，于是 k，ABCDEFABCDEF即 ABC 与 DEF 的相似比为 k拓展 这时 DEF 与 ABC 的相似比为 若 BC6， EF8，则 ABC 与 DEF 的相似1k比为 ， DEF 与 ABC 的相似比为 .638443探究交流 如果两个三角形的相似比 k1，那么这两个三角形有怎样的关系?点拨 当两个三角形相似，且相似比为 1 时，这两个三角形全等，
5、也就是说，这两个三角形的对应角都相等，对应边都相等，这两个三角形能够重合三角形全等是三角形相似的特例知识点 4 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等把这个定理应用到三角形中，可以得到：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等知识点 5 相似三角形的判定定理判定定理 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似如图 2711 所示，在 ABC 中，过 AB 上一点 D 作 DE BC 交 AC 于点 E，求证ADE ABC证明： DE BC， ADE ABC， AED ACB连接 DC， BE， S EBC
6、 S DBC， S ABE S ACD同高的两个三角形面积的比等于底边的比， .,ADEADEBCS .,AEB如图 2712 所示，过点 D 作 DF AC 交 BC 于点 F易证 .FC又 BD AB AD， BF BC FC BC DE， ，即 ABEAEB .DC又 A A， ADE ABC， AED ACB， ADE ABC判定定理 2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似如图 2713 所示，在 ABC 和 A B C中， ，求证 ABCABCA B C证明：在线段 A B(或它的延长线)上截取 A D AB，过点 D 作 DE B C交 A C于点 E， A
7、DE A B C， . E又 ， A D=AB， . A E=AC，同理 DE=BC，CA A DE ABC(SSS)， ABC A B C例如：在 ABC 与 A B C中， AB4 cm， BC 6 cm， AC8 cm， A B12 cm， B C18 cm， A C24 cm，此时 ，4123， ， ， ABC A B C6183 81243 书 写 格 式 ： 在 ABC 与 A B C 中 ， ， ABC A B C BA判定定理 3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似如图 2714 所示书写格式：在 ABC 与 A B C中， ， A A
8、， ABC A B CABC判定定理 4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似如图 2715 所示，在 ABC 与 A B C中， A A， B B，求证 ABC A B C证明：在 ABC 的边 AB 上截取 AD A B，过点 D 作 DE BC 交 AC 于点 E， ADE A B C，且 ADE ABC， ABC A B C书写格式：在 ABC 与 A B C中， A A， B B， ABC A B C规律方法小结 判定三角形相似的方法主要有以下几种：(1)定义；(2)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(3)如果两
9、个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(4)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(5)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似(此知识常用，但有时需要证明)；(7)若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似知识点 6 相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边的比相等拓展 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段的计算以及三角形的周长和面积的计算等，还可以用于证明两角相等、两条线段相等规律方法小结
10、运用转化思想把要求证的线段间的关系逐步转化为易证的线段间的关系，即由未知向已知转化当两个三角形相似，但又没有指明对应的情况时，应进行分类讨论 课堂检测基本概念题1、所有的直角三角形都相似吗?所有的等腰直角三角形呢?为什么?2、根据下列条件判定 ABC 与 A B C是否相似，并说明理由(1) A120， AB7 cm， AC14 cm， A120， A B3 cm，AC6 cm； (2)AB4 cm， BC6 cm， AC8 cm， A B12 cm， B C18 cm， A C21 cm基础知识应用题3、如图 2717 所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式(1) ABC AD
11、E，其中 DE BC；(2) OAB OA B，其中 A B AB；(3) ABC ADE，其中 ADE B.4、如图 2718 所示，已知 AB CD EF，那么下列结论正确的是 ( )A B DBCFECDFEAC D DBEFCAEF5、如图 2719 所示， ABD ACE，求证 ABC ADE6、如图 2720 所示，在不等边三角形 ABC 中， P 是 AB 边上一点，过点 P 作一条直线，使截得的三角形与 ABC 相似，则满足条件的直线一共有多少条?请画出图形7、如图 2722 所示，在 Rt ABC 中， C90， ABC 中有一个内接正方形 DEFC，连接 AF 交 DE 于
12、 G， AC15， BC10，求 GE 的长综合应用题8、如图 2723 所示，从 ABCD 的顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E， F，求证 ABAE+ADAF AC29、如图 2724 所示，小明为了测量一楼房 MN 的高度，在离 N 点 20 m 的 A 处放了一个平面镜，小明沿 NA 后退到 C 点，正好从镜子中看到楼顶 M 点，若 AC1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为 16 m，请你帮助小明计算一下楼房的高度(结果保留小数点后一位)探索与创新题10、如图 2725 所示，在直角梯形 ABCD 中， D90， AD7， AB2， DC3，
13、P为 AD 上一点，以 P， A， B 为顶点的三角形与以 P， D， C 为顶点的三角形相似，那么这样的点 P 一共有多少个?为什么?体验中考1、如图 2728 所示，已知 ABC 是边长为 6 cm 的等边三角形，动点 P， Q 同时从A， B 两点出发，分别沿 AB， BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1 cm/s，点 Q 运动的速度是 2 cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P， Q 两点都停止运动，设运动时间为 t s，解答下列问题(1)当 t2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；(2)设 BPQ 的面积为 S cm2，求 S 与 t 的函数关系式；(3)作 QR BA
14、 交 AC 于点 P，连接 PR，当 t 为何值时， APR PRQ?2、如图 2729 所示，在 ABCD 中， E 在 DC 上，若 DE:EC1:2，则 BF:BE= .学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 由相似三角形的定义可知，所有的直角三角形不都相似，而所有的等腰直角三角形都相似解：所有的直角三角形不都相似如图 2716 所示的两个直角三角形中的两个锐角显然不相等，因此这两个直角三角形不相似所有的等腰直角三角形都相似因为任意一个等腰直角三角形的三个内角分别为45，45，90，三条边的比为 1：1： ，因此所有的等腰直角三角形都相2似【解题策略】 所有的直角三角形中不
15、满足对应角都相等，因此所有的直角三角形不都相似2、分析 根据判断两个三角形相似的判定定理 3 与判定定理 2 来判定解：(1) , ， 73AB14763CABC又 A A， ABC A B C(2) , , , .12 18 821 BAC即 ABC 与 A B C的三组对应边的比不相等，所以它们不相似【解题策略】 此类题主要考查相似三角形的判定定理3、分析 要写出比例式，关键应明确哪些边是对应边，而要找到对应边，比较好的方法是找到对应角(或对应的顶点)以(2)为例，由于A B AB， A A， B B， A OB AOB，因此点 A 与点 A是对应点，点 B 与点 B是对应点，另一个公共点
16、 O 是两个三角形的对应点解：(1) .DEC(2) .OAB(3) .【解题策略】 两个三角形相似，在找对应角和对应边时应按照对应字母来找4、分析 如图 2718 所示，把直线 AD 向右平移，且使点 A 与点 B 重合容易证明：AD BD， DF D F，由比例线段的特点知 故选 ABCDEF5、分析 由于 ABD ACE，所以 BAD CAE，所以 BAC DAE又 ，所以问题得证ABCDE证明： ABD ACE， BAD CAE， BAD+ DAC CAE+ DAC，即 BAC DAE又 ABD ACE， ，ABCE即 ， ABC ADEABDE【解题策略】 解决此类问题的关键是熟练掌
17、握相似三角形的判定方法6、分析 可利用“如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似”和“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”来画直线，故过点 P 分别作 BC， AC 的平行线，或过点 P 作与 C 相等的角，从而得到相似三角形解：满足条件的直线一共有四条，如图 2721 所示【解题策略】 本题考查相似三角形的识别方法，通过构造“两角对应相等”使两个三角形相似7、分析 根据相似三角形的判定方法和性质列出比例式，从而求得 GE 的长解：在 Rt ABC 中， C90，正方形 DEFC 为其内接正方形， ADE ACB， AGE AF
18、B， .ADEB设正方形 DEFC 的边长为 x，则 ， x=6150x AGE AFB， . AEGBF又 , ，15693AEDBC5即 ， GE= .3106G2【解题策略】 利用比例式求线段的长度是求线段的一种重要方法，主要是根据相似的关系列出比例式，再由比例式列出方程，从而通过解方程求得线段的长8、分析 等式左边的两项均为两条线段之积，而右边为 AC2，故应设法将 AC2拆成两条线段乘积的形式，由图中可知 AC2 AC(AG+GC) ACAG+ACGC，从而只需证 ACAG 和ACGC 与所证等式的左端两项分别相等即可证明：过 B 作 BG AC 于 G， BGA CEA90，33，
19、 ABG ACE， ，AGBEC ACAG ABAE又 BC AD，C F AF，12， CGB AFC90， CBG ACF， ，A ACCG CBAF由+得 AC(AG+CG) ABAE+CBAF又 CB AD， ABAE+ADAF AC2【解题策略】 一般地，要证形如 ab cd+ef 的线段关系，常常在 a(或 b)上取一点P，使 ab 转化为两项9、分析 根据物理学中的反射定律可知：光线的反射角等于入射角，即 BAP MAP，从而 BAC MAN，这样就可以得到 MNA BCA，再利用相似三角形的性质即可求出 MN解： BC CA， MN AN， BCA MNA90，又 BAP MA
20、P， BAC MAN， BCA MNA， MN:BCA N:AC，即 MN：1.6=20:1.5， MN= 213(m)，1.6205楼房的高度约为 213 m 【解题策略】 利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求线段的长是常用的方法10、分析 PAB 与 PDC 中各有一个直角，两边对应成比例，所以应分两种情况进行讨论，即 APB DPC 和 APB PCD，分别求解即可解：设 AP x，则 PD7 x当 PAB PDC，即 A D90， APB DPC 时，, x .273145当 PAB CDP，即 A D=90， APB DCP 时， x1=1， x2=6因此 AP 的值有三个，也
21、就是这样的点 P 一共有三个【解题策略】 本题中 PAB 与 PDC 相似，由于没有指明两个三角形的对应点(除点A 和点 D 外)，所以要分类讨论体验中考1、分析 (1) B60，只要判断出 BQ 与 BP 的关系即可(2)用含 t 的代数式分别表示 BP 和 BP 边上的高，因此需过点 Q 作 BP 边上的高；(3)找出使 APR PRQ 成立的条件即可解：(1) BPQ 是等边三角形，理由如下：当 t2 时， AP212， BQ224， BP AB AP624 BQ BP又 B60， BPQ 是等边三角形(2)过点 Q 作 QE AB，垂足为点 E由 QB2 t，得 QE2 tsin 60
22、 t3由 AP t，得 PB6 t S BPQ BPQE (6 t) t t2+3 t1 3(3) QR BA， QRC A60， RQC B60又 C60， QRC 是等边三角形， QR RC QC62 t. BE BQcos 602 t t，1 EP AB AP BE6 t t62 t. EP QR，又 EP QR，四边形 EPRQ 是平行四边形， PR EQ t3又 PEQ90， APR PRQ90 APR PRQ， QPR A60tan 60= ，即 = ，解得 t= QRP623t65当 t s 时， APR PRQ.65【解题策略】 分析动点问题时，要抓住动点的起点、运动方向、速度、时间、距离等要素2、分析 DE:EC1:2，设 DE x，则 EC2 x， AB3 x由 ABF CEF，得 BF:BE3:5故填 3:53,BFAEC
