1、素质能力检测（十五）一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1.如 果 复 数 （ 其 中 i 为 虚 数 单 位 ， b 为 实 数 ） 的 实 部 和 虚 部 互 为 相 反 数 ， 那 么 b 等2ib于A. B. C. D.23232解析： = =2i1b5i)-(15i)4(b22b=b+4，b= .3答案：C2.当 m1 时，复数 z=(3m2)+( m1)i 在复平面上对应的点位于3A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：z 对应的点为(3m2，m1) ， m1，303m21， m10.3答案：D3.在下列命题中，正确命题的个数为两个复数不能比较大小;z 1、
2、 z2、 z3 C，若( z1z 2)2+(z2z 3)2=0，则 z1=z3;若(x 21)+( x2+3x+2)i 是纯虚数，则实数 x=1;z 为虚数的一个充要条件是 z+ R;若 a、 b 是两个相等的实数，则(ab)+( a+b)i 是纯虚数;复数 zR 的一个充要条件是 z= .A.0 B.1 C.2 D.3解析：错，两个复数如果都是实数则可比较大小;错，当 z1、 z2、 z3 不全是实数时不成立，如 z1=i，z 2=1+i，z 3=1 时满足条件，但 z1z 3; 错，当 x=1 时，虚部也为零，原数是实数;错，此条件是必要非充分条件 ;错，当 a=b=0 时，原数是实数;对
3、.答案：B4.设 f(n)=( )n+( )n(nZ )，则集合x x=f(n) 中元素的个数是i1iA.1 B.2 C.3 D.无穷多个解析：f(n)=i n+(i) n，f(0)=2，f(1)=ii=0，f(2)=11=2，f(3)= i+i=0.xx=f( n)=2，0，2.答案：C5.已知复平面内的圆 M：|z2|=1，若 为纯虚数，则与复数 p 对应的点 P 1pA.必在圆 M 上 B.必在圆 M 内C.必在圆 M 外 D.不能确定解析： 为纯虚数，设为 ki(kR ，k0)，1p(1k i)p=1+ki，取模得| p|=1 且 p1.选 C.答案：C6.已知复数(x2)+yi(x
4、、 yR)的模为 ，则 的最大值是3xyA. B. C. D.23 213解析：x2+y i= ，3(x2) 2+y2=3.x y OC(x，y) 在以 C(2，0) 为圆心、以 为半径的圆上，如右图，由平面几何知识知3.3答案：D二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）7.已知 M=1，2，(a 23a1)+(a 25a6)i ，N =1，3，MN=3，实数a=_.解析：按题意(a 23a1)+(a 25a6)i=3 ， 解得 a=1.1,0652答案：18.复数 z= |2i 的模为_.2i)(13i)(2(4解析：由复数的模的性质可知z= 2i|i21|i3|i21| |4| = 2i
5、= 2i， |z|=3.521答案：39.若 x、 yR，且 2x1+i= y(3y)i，则 x=_，y=_.解析：根据复数相等的定义求得.答案： 4510.复数 z 满足 z +z+ =3，则 z 对应点的轨迹是_.解析：设 z=x+yi(x、 yR)，则 x2+y2+2x=3 表示圆.答案：以点（1，0）为圆心，2 为半径的圆三 、 解答题(本大题共 4 小题，共 54 分)11.(12 分) 设复数 z1、 z2 满足 z1z2+2iz12iz 2+1=0， z 1=2i，求 z1 和 z2.2解： z 1=2i， =z1+2i.2z 2= ，即 z2= 2i.i又z 1z2+2iz12
6、iz 2+1=0，z 1( 2i)+2iz 12i( 2i)+1=0，即| |2 2i 3=0.令 z1=a+bi(a、 bR)，得 a2+b22b32ai=0 ，即 解得.0,0.1,03,ba或z 1=3i，z 2=5i 或 z1=i，z 2=i.12.(14 分 )设 复 数 z 满 足 4z+2 =3 +i， =sin icos ( R)， 求 z 的 值 和 |z |的 取 值范 围 .解：设 z=a+bi(a、 bR)，则 =abi，代入 4z+2 =3 +i，得z34(a+bi)+2(abi)=3 +i，3即 6a+2bi=3 +i. z= i.,21,3b21|z |=| +
7、i(sin icos )|231= 2)cos()sin(= = .i32)6in(1sin( )1，0 22sin( )4.0 |z |2.613.(14 分) 非零复数 a、 b、 c 满足 = = ，求 的值.abccba解 ： 设 = = =k， 则 a=bk， b=ck， c=ak， 即 c=ak， b=akk=ak2， a=ak2k=ak3，bck 3=1.k=1 或 k= i.213则 = = .cbaak2若 k=1，则原式=1;若 k= + i，则原式= i;213213若 k= i，则原式= + i.综上， 的值分别为 1， i，1+ i.cba23214.(14 分) 设
8、复数 z 满足z=5，且(3+4i)z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， zm=5 (mR) ，求 z 和 m 的值.2解：设出 z 的代数形式 z=x+yi(x、 yR ).z=5， x2+y2=25.(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x4y)+(4x+3y )i，又(3+4i)z 在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为相反数，3x 4y+4x+3y=0.化简得 y=7x.将其代入 x2+y2=25，得 x= ，y = .227z=( + i).则当 z= + i 时，277 zm= 1+7i m=5 ，即(1m) 2+72=50.解得 m=0 或 m=2.当 z=( + i)时，同理可得 m=0 或 m=2.7
