1、例谈数学归纳法一、要点扫描1数学归纳法证题步骤(1)证明当 取第一个值 时命题成立;n0n(2)假设 时命题成立,证明当 时命题也成立。k,*N1nk其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”。运用数学归纳法证明有关问题应注意以下几点:两个步骤缺一不可;在第一步中, 的初始值不一定以 1 取起,也不一定只取一个数(有时需取n等),证明应视具体情况而定;0,1n第二步中证明 时,必须使用归纳假设,否则就会打破数学归纳法步1k骤间的严密逻辑关系,造成推理无效。证明 成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出归纳假设里给出n的形式,以便使用归纳假设,然后再
2、去凑出当 时的结论,这样就能有效1nk减少论证的盲目性。2运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误,特别时寻找 与 的关系时,项数发生什nk1么变化被弄错。(2)没有利用归纳假设,归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。(3)关键步骤含混不清,“假设 时结论成立,利用此假设证明nk时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环1nk节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。二、范例剖析例 1 用数学归纳法证明 。11123422nn 分析:要证等式的左边共 项,右边共 项, 与 相比左边增二nfkf项,右边增一项,而且左、右两
3、边的首项不同。因此,由“ ”到“k”时要注意项的合并。1nk证明:(1)当 时,左边 ,右边 ,命题成立。1n1212(2)假设当 时命题成立,即k3421kk 那么当 时,1n左边 122112kkk。3上式表明,当 时命题也成立。1n由(1)和(2)知,命题对一切自然数均成立。评注:用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 的取值是n否有关,由 到 时,等式两边会增加多少项。nk1例 2 比较 与 的大小( )2*nN分析:我们可从特例入手,探求 与 的大小关系。2解析:当 时, ,即 ;1n12n当 时, ,
4、即 ;22当 时, ,即 ;332n当 时, ,即 ;4n42当 时, ,即 ;552n当 时, ,即 ;662猜测:当 时, 。5n2n下面用数学归纳法证明猜测成立。(1)当 时,由上式可知猜测成立。5n(2)当 时,命题成立,即 ,k2k ,即当 时命题也成1221k k1nk立。由(1)和(2)可知,当 时, 。5n2n评注:应用数学归纳法证题时,第一个步骤中的初始值 是使命题成立的最0n小自然数,这个自然数不一定是 1。例 3 用数学归纳法证明: 能被 17 整除。2135*nf N分析:用用数学归纳法证整除性问题,关键是由 配凑出 的部分。1fkfk证明:(1)当 时, ,故 能被 17 整除。1n34529723ff(2)设 时,命题成立,即 能被 17 整除,则k213kf当 时,1n2345kkf 21231455kk。31572kf由归纳假设可知, 能被 17 整除,又 显然可被 17 整除,故f 3172k能被 17 整除。1fk由 可知,对任意正整数 , 能被 17 整除。2nf评注:整除性问题的数学归纳法的证明,其关键是配凑,而配凑的方法很多,其关键是 之假定的运用。nk