1、1.1.4 投影与直观图文艺复兴以前的透视图远处的东西画小，方形四角的饭桌画成梯形的，圆盘画成椭圆形的，无论大人、小孩，还是东洋、西洋，自古至今如此。有在人物画的角落画这种饭桌的，也有在一幅画中将左看的形状与右看的形状掺杂着一起画的。这种画与其称之为原始的，不如说是朴素的透视画。整幅画，基本上是从一个视点且只向一个方向看时的统一景物，才能叫做。透视画。 ，现存最古的透视画大概是庞贝的壁画。人们还不明白当时的画家是怎样画出的。与庞贝城建筑的同时，罗马的建筑家维特鲁威写了建筑十书 ，其中有所谓。斯卡伊诺哥拉菲亚。，可解释成：剧场舞台背景透视画与庞贝的壁画不谋而合的说法可能是正确的。在维特鲁威的书里
2、的很多地方能看到关于光学和视觉的叙述，因此欧几里德有同样说法是可理解的。虽然中世纪的学者阿尔哈真和培卡姆，也有与欧几里德相似的叙述，遗憾的是那一时期的透视图，除了朴素透视画以外几乎没有留下别的。课程学习目标课程目标目标重点：平行投影的性质和斜二测画法。目标难点：正确地把握斜二测画法的要点以及选择放置直观图的角度。学法关键画水平放置的空间图形的直观图，一般采用斜二测画法。 对于斜二测画法，应当牢固掌握画法的规则，再认真地画几个常见图形的直观图，从中领会斜二测画法的要领。 对三视图的学习要紧密地结合实际应用。 可以到工厂去考察机器零件的实物和图纸，要认真完成教材中的实习作业，可以利用课外活动时间探
3、索与研究本节后面提出的问题，看一看旋转体的三视图中是否一定有两个视图相同，这两个相同的视图中是否都包含有这个旋转体的轴截面。研习教材重难点研习点 1. 平行投影1 点的平行投影：已知图形 F，直线 l 与平面 相交，过 F 上任一点 M 作直线 l平行于 l，交平面 于点 M，则 M叫做点 M 在平面 内关于直线 l 的平行投影（或像）.2图形的平行投影：如果图形 F 上的所有点在平面 内关于直线l 的平行投影构成图形 F，则 F叫做图形 F 在 内关于直线 l 的平行投影，平面 叫做投射面， l 叫做投射线。3平行投影的性质：当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质：1直
4、线或线段的平行投影仍是直线或线段；2平行直线的平行投影是平行或重合的直线；3平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；4与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；5在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影长度的比等于这两条线段长度的比。联想质疑：为什么平行投影的比例性质不变？事实上，如果线段 AB 在平面 内关于直线 l 的平行投影是 AB （如图） ，点 M 在 AB上，且 AM:MB=m:n ，则点 M 的平行投影 M在 AB上，由平行线分线段成比例定理得AM:MB=m:n研习点 2空间图形的直观图1概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.2斜二测画法：国家规
5、定的统一的画直观图的一种方法，它的规则是：（1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox， Oy，再作 Oz 轴，使 xOz=90，且 yOz=90.（2）画直观图时，把 Ox、 Oy、 Oz 画成对应的轴 Ox、 Oy、 Oz，使 xOy=45（或 135） ， xOz=90， xOy所确定的平面表示水平平面;（3）已知图形中，平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴、y轴或 z轴的线段. 并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同；（4）已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于
6、y 轴的线段，长度为原来长度的一半；（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图联想质疑：如何理解斜二测画法？1斜二测画法是画几何体直观图的主要方法；2斜二测画法的作图规则可以简要地说成：竖直或水平方向放置的线段画出后方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成 45或 135角，长度画成原长度的一半（仍表示原长度3.正等测画法：正等测画法的依据仍然是平行投影的性质，不过这时的投影线和人的视线平行，并且投射线与投射影垂直；正等测画法一般用于画圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的直观图，它的画法步骤同斜二测画法.研习点 3水平放置的平面图形的直观图的画法水平放置的平
7、面图形的直观图的画法与空间图形的直观图的画法类似，其具体的画法步骤是：（1）在已知图形中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox， Oy，使 Ox Oy；（2）画直观图时，把轴 Ox、 Oy 画成对应的轴 Ox、 Oy，使 xOy=45（或 135） ，xOy所确定的平面表示水平平面；（3）已知图形中，平行于 x 轴、 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴， y轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同；（4）已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来长度的一半；（5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，
8、就得到了水平放置的平面图形的直观图。研习点 4中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影。联想质疑：平行投影与中心投影的关系是什么？1平行投影与中心投影的本质区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一点发出的；2中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和下一节要学习的三视图，中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体；3画实际效果图时，一般采用中心投影法，画立体几何中的图形时一般用平行投影法；探究解题新思路基础拓展型题型 1. 考查基本概念例 1. 当图
9、形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是（ ）（ A）直线或线段的平行投影仍是直线或线段 （ B）平行直线的平行投影仍是平行的直线 （ C）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等 （ D）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比【探究】根据平行投影的概念和性质进行判断。【研析】根据平行投影的性质可知，平行直线的平行投影是平行或重合的直线，所以 B 不正确， 选 B.【反思领悟】理解并熟记平行投影的概念及其五条性质是解好此类判断题的关键1有下列说法： 从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；
10、平行投影的投影线互相平行，中心投影的投射线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。其中正确的命题个数是（ B ）（ A）1 个 （ B）2 个 （ C）3 个 （ D）4 个小结：此类题通过选择题或填空题的形式来考查平行投影的概念及相应性质，多为判断题，解决此类题目的关键是熟练掌握平行投影的概念和性质，注意各条性质间的关系。题型 2用斜二测画法画直观图1水平放置的直观图的画法：例 2用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。【探究】先画出正五边形的图形，然后按照斜二测画法的作图步骤进行画图。【研析】 （
11、1）如图所示，在已知五边形 ABCDE 中，取中心 O 为原点，对称轴 FA 为 y 轴，过点 O 与 y 轴垂直的是 x 轴，分别过 B、 E 作 GB/y 轴， HE/y 轴，与 x 轴分别交于点 G、 H, 画对应的轴 Ox、 Oy，使 xOy=45,（2）如图所示：以点 O为中点，在 x轴上取 GH=GH，分别过 G， H在 x轴的上方，作 GB/y轴，使 GB= GB；作 HE/y轴，使 HE= HE；在 y轴2121的点 O上方取 OA= OA，在点 O下方取 OF= OF，并且以点 F为中点，画21CD/x 轴，且使 CD=CD,（3）连结 AB、 BC、 CD、 DE， EA所
12、得正五边形 ABCDE就是正五边形 ABCDE 的直观图，如图所示。【反思领悟】在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点。【拓展变式】2. 画出一个锐角为 45的平行四边形的直观图。2空间图形直观图的画法：例 3已知一个正四棱台的上底面边长为 2cm，下底面边长为 6cm，高为 4cm，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【探究】先画出上、下底面正方形的直观图，再画出整个正四棱台的直观
13、图.【研析】 （1）画轴. 以底面正方形 ABCD 的中心为坐标原点，画 x 轴、 y 轴、 z 轴，三轴相交于 O，使 xOy=45， xOz=90.（2）画下底面. 以 O 为中点，在 x 轴上取线段 EF，使得 EF=AB=6cm，在 y 轴上取线段GH，使得 GH= AB，再过 G， H 分别作 AB EF， CD EF，且使得 CD 的中点为 H， AB 的中/点为 G，这样就得到了正四棱台的下底面 ABCD 的直观图.（3）画上底面. 在 z 轴上截取线段 OO1=4cm，过 O1点作 O1x/Ox、 O1y/Oy，使 xO1y=45，建立坐标系 xO1y，在 xO1y中重复（2）
14、的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.（4）连结 B1C1， A1D1，再连结 AA1、 BB1， CC1， DD1，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图。【反思领悟】用斜二测画法画空间图形的直观图时，对于图中与 x 轴、 y 轴、 z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决：过与坐标轴不平行的线段的端点作坐标轴的平行线段，再借助于所作平行线段确定端点在直观图中的位置，有了端点在直观图中的位置，一切问题便可迎刃而解。【拓展变式】3画出一个上、下底面及高分别为 1cm、2cm 和 2cm 的正三棱台的直观图.教考动向演练1. 直线的平行投影可能是（ A ）（ A）点 （ B）线段 （
15、C）射线 （ D）曲线2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ D ）（ A）两条平行线. （ B）一点和一条直线 （ C）两条相交直线 （ D）两个点3. 如图为水平放置的 OAB 的直观图，由图判断原三角形中AB、 OB、 OD、 BD 由小到大的顺序为 ODBDAB=OB .综合创新型题型 1. 创新应用题例 4 如图为一个平面图形的直观图，请画出它的实际形状.【探究】先建立 45角的坐标系，再建立直角坐标系，然后还原成实际图形.【研析】在图中建立如图所示的坐标系 xAy，再建立一个直角坐标系，如图所示.在 x 轴截取线段 AB=AB，在 y 轴上截取线段AD，使 AD=2AD.过
16、B 作 BC/AD，过 D 作 CD/AB，则四边形 ABCD 即为 ABCD的实际图形.【反思领悟】还原图形的过程是画直观图的逆过程，它主要包括平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段变为原来的 2 倍4. 下图表示水平放置图形的直观图，画出它原来的图形.题型 2. 开放探究题例 5. 一个水平放置的四边形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底的长均为 1 的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）（ A）2+ （ B）1+ （ C） (2+ ) （ D） (1+ )221221【探究】 此题是斜二测画法的逆用，根据画法原则还原求解【研析】由题意可得下底为 1+ ，而由斜二测画法知
17、一腰垂直于底边，且腰长为 2，于是面积为 ，故选 C。1(2)2【反思领悟】本例是由直观图求原平面图形的面积，应根据画法找出腰和底边的夹角及边长，再利用面积公式求解。 请同学们思考斜二测画法中夹角为 45和 135时图形的面积相同吗？原因是什么呢？5. 已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么 ABC 的平面直观图 ABC的面积为（ D ）（ A） （ B） （ C） （ D）234a238268a261a教考动向演练4.下面图形中采用中心投影画法的是（ A ）5. 用斜二测画法画直观图时，三角形的直观图还是三角形；平行四边形的直观图还是平行四边形；正方形的直观图还是正方形；菱形的直观图还是菱形，其中正确的是 。6. 一个四边形的直观图是边长为 a 的正方形，则原图形的面积是 2 a2 。7. 一个菱形的边长为 2cm，一个内角为 60，画出它的直观图。1已知 ABC 的平面直观图 ABC是边长为 a 的正三角形，那么原 ABC 的面积为( C )（ A） a2 （ B） （ C） （ D）3234a2626a2下列说法正确的是（ B ）（ A）矩形的平行投影一定是矩形 （ B）梯形的平行投影一定是梯形或线段 （ C）正方形的平行投影一定是矩形 （ D）正方形的平行投影一定是菱形
