1、课 题：11 正弦定理和余弦定理（一）教学目标：知识：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。能力：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用教学难点：已知两边和
2、其中一边的对角解三角形时判断解的个数授课类型：新授课课时安排：1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一.课题导入如图 11-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B二.讲授新课(图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ，
3、 ，又 , AsinaAcibBsin1cC则 b csiniiBC从而在直角三角形 ABC 中， C a Bsinisinac(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：（证法一）如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ，siniaBbAsiniabBC同理可得 ， b asinicbC从而 A c BsiniabABsincC(图 11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证
4、法二）：过点 A 作 ， Cj由向量的加法可得 BC则 A B()jj jAjjB j00cos9cos9jC ，即iniasinaA同理，过点 C 作 ，可得 jBibcB从而 siisiC（证法三）：（外接圆法）如图所示， 同理 =2R， 2RRCDaA2siniBbsincsiniiibcB类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabAB2sincRC理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数
5、k 使 ， ， ；iaikick（2） 等价于 ， ，sinibABsincCsiinabsiincbBsiaAincC从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。abcOBCAD三、讲解范例例 1在 中，已知 ， ， cm，解三角形。ABC032.081.B42.9a解：根据三角形内角和定理， 08()0132.1.8；6.根据正弦定理，；0sin4.9si.8.1()32aBbcmA根据正弦定理， 0si.si6
6、.74.()nCc评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2 在 CAacBbA,1,30和求中 ， 解： 21360sinsiin,siinbCc 000 9,6, BBb为 锐 角 ， 22ca例 3在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到 ，边长精AC0a28b04A01确到 1cm） 。解：根据正弦定理， 0sin28i4i .9bBa因为 ，所以 ，或0016016.B 当 时，64，0008()8(4)7CA0sin2i763.accm 当 时，01B，008()8(41)24A0sin2i3.aCcc评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的
7、情形。已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时:)( ba ,sinA i锐 角一 解 一 钝一 锐二 解 直 角一 解无 解 b a b a ba b aa一一一a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一 abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CH H H若 A 为直角或钝角时: )( a锐 角一 解无 解【变式练习】根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数： ， ， ，求5a4b120B ， ， ，求9A ， ， ，求5a3b60 ， ， ，求2084B ， ， ，求6a5bA ， ， ，求4
8、3160四、课堂练习：1 在ABC 中， ,则 k 为( )CcBbAasinisinA2R BR C4R D (R 为ABC 外接圆半径)212ABC 中，sin 2A=sin2B+sin2C，则ABC 为( )A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形五、小结 ：（1）定理的表示形式： ；siniabsinc2isiniabcRABC或 ， ，2sinaRA2sinbB2sincRC(0)k（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。六、课后作业：1 在 中，已知 ， ， ，求ABC3b45A60Ba2 在 中，已知 ， ， ，求cb七、板书设计（略）八、课后记：
