1、数学归纳法 水平测试一、选择题1如果命题 ()pn对 k成立，那么它对 2nk也成立，又若 ()pn对 2成立，则下列结论正确的是（ ）A ()对所有自然数 成立B pn对所有正偶数 n成立C ()对所有正奇数 成立D 对所有大于 1 的自然数 成立答案：B2用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（ ）A n成立 B 2n成立C 3成立 D 4成立答案：C3已知 11() ()3f nN ，则 (1)fk（ ）A ()fkB 1)32fC 1(34kkkD )4f答案：C4凸 n边形有 ()f条对角线，则凸 1n边形的对角线的条数 (1)fn为（ ）A ()1fB ()fC ()fD
2、 2答案：C二、填空题5用数学归纳法证明“ 35n能被 6 整除”的过程中，当 1nk时，式子3(1)()k应变形为 答案： (1)k6用数学归纳法证明不等式 11272464n 成立，起始值至少应取为 答案：8三、解答题7用数学归纳法证明： (31)(1)2()2nn N 证明：（1）当 时，左边 ，右边 (31)2左边，等式成立（2）假设 nk时等式成立，即 (31)(1)2()2kk 则当 1时，左边 3k()2()kk3274(1)342kk(1)3，nk时，等式成立由（1）和（2）知对任意 nN，等式成立8求证： 121()na能被 21a整除（其中 nN） 证明：（1）当 时， 2
3、()能被 21a整除，即当 1n时原命题成立（2）假设 ()nkN时， 121()kka能被 2整除则当 1时， 22 21()kaAA121()kk kaA122a由归纳假设及 能被 1整除可知， 221()kka也能被 21a整除，即 nk命题也成立根据（1）和（2）可知，对于任意的 nN，原命题成立备选题1 已知等差数列 na和等比数列 nb，且 1a，2ab， 12， 0， N，试比较 3与 b， 4a与 的大小，并猜想 na与n（ 3 ， ）的大小关系，并证明你的结论解：设 1， na的公差为 d， nb的公比为 q2 (1)abdq因为 0n， 12， 0， ， 1da2 23()
4、()()0aaq ，b又 324()(1)0qd，a猜想 (3)nbnN， 下面用数学归纳法证明此猜想：（1） 当 时，已证 3ba，猜想正确（2）假设当 nk（ ， k）时猜想正确，即 kba则当 时，由 1kq， (1)kd知：1()kaqd，又 ， (1)ka，而 (1)d， ()()()kkbqdqkdak()1aa210k，1kba即当 n时，猜想也成立由（1）和（2）可知，对 3n ， N，均有 nba成立2 设 1()2f ，是否存在 ()g使等式()(ff对 2 的一切自然数都成立，并证明你的结论解： (1)f， 1(2)f， 1(3)2f，由 ()ngn ，得当 n时， ()
5、()ff，可得 g当 3时， 123()A，得 (3)猜想： ()g用数学归纳法证明：当 n时，已验证成立假设 nk（ 2 ， kN）时成立，即 ()gk，且有 (1)(1)fff 成立则当 时，()2()()1()1()ffkfkffkfk 11kf()()fk即当 n时成立综上可知， ()gn使等式 (1)2(1)()(ffngfn 对 2 的一切自然数都成立3求证： 棱柱中过侧棱的对角面的个数是 ()3)2f证明：（1）当 4n时，四棱柱有 2个对角面： 14，命题成立（2）假设 k（ ， kN）时，命题成立，即符合条件的棱柱的对角面有1()3)2fk个现在考虑 n时的情形第 条棱 1kAB与其余和它不相邻的 2k条棱分别增加了 1 个对角共 2k个，而面1k变成了对角面因此对角面的个数变为：()2(3)1fk()()322kk，即 1k成立由（1）和（2）可知，对任何 4n ， N，命题成立
