1、1.1.1 正弦定理【教学目的】1.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；2.理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。【教学重点】正弦定理的证明和理解【教学难点】正弦定理的证明【教学过程】一新课引入：初中学习了全等三角形只要根据已知条件就能判断三角形是否全等。能否根据给定条件算出三角形的未知边与未知角？这就是解三角形。解三角形有几个重要定理，今天学习其中之一-正弦定理问题 1.在直角三角形 ABC 中，对应边依次为 a,b,c，求证： = =AasinBbiCcsin【猜想与推广】正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = = =
2、2R（R 为ABC 外接圆半径）AasinBbiCcsin证明：2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC 当中SABC = AbcBacCbsin21sisin1两边同除以 即得： = =2iiCi证明二：（外接圆法）如图所示， RCDaAsini同理 =2R， 2RBbci证明三：（向量法）过 A 作单位向量 垂直于jAC由 + = CB abcO BCA D两边同乘以单位向量 得 ( + )= jACBj则 + = jACjB| | |cos90+| | |cos(90C)=| | |cos(90A)jj =casiniAasiCcin同理，若过 C 作 垂直于 得： = = =jB
3、siBbinAasiBbinCcsi二正弦定理的应用 定理剖析，加深理解正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即： CcBbAasinisin从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角的正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。这种对应关系是严谨的，也是和谐的，它体现了数学的一种和谐美。从方程的观点看，表达式中每一个等号所形成的等式中，含有四个量，显然可“知三求一” 。于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题：已知两边与任一边，求其他两边和一角；已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。例 1 已知在 BbaCAcABC和求中 ， ,30,45,10解：
4、3,45,0c 0)(8由 得 CcAasini 2103sin451siAca由 得Bbii 25642075sin230sin1si c例 2 在 CAacBbAC,16,0和求中 ，解： 21360sinsiin,siin bc 000 9,6,BBb为 锐 角 ， 22cba【比较例 1，例 2】体会：例 3 CBbaAABC,245,60和求中 ， 解： 2345sin6siin,siin 0cca0126,或，136sin75si,756000 CBcbBC时 ，当 ii,112000 时 ，当 或006,75,3Bb 012,5,13CBb【变式】 25,ACaA中 ， 求【探索
5、】(*)例 4 已知 ABC， B 为 B 的平分线，求证： AB BC A C四、课堂练习：1 在ABC 中， ,则 k 为( )CcBbAasinisinA2R BR C4R D (R 为ABC 外接圆半径)212ABC 中，sin 2A=sin2B+sin2C，则ABC 为( )A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形(*)3 在 ABC 中，求证： 222cosbaa五、小结 正弦定理，两种应用六、课后作业：1 在 中，已知 ， ， ，求ABC3b45A60B2 在 中，已知 ， ， ，求cb3 在 ABC 中，已知 ，求证：2 b2 a2 c2)sin(iC
6、4在 ABC 中，已知 试判断ABC 的形状。cobAaB(*)5.在 中,内角 A、B、C 的对应三边分别为 ,已知cba4(sin)(2Bf,若满足 对任意三角形都成立,求实数 的取值范围B2cos)2)(mf m利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨：已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时:)( ba ,sin i锐 角一 解 一 钝一 锐二 解 直 角一 解无 解b a b a ba b aa一一一a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一 abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1A BACB2CH H H若 A
7、为直角或钝角时: )( ba锐 角一 解无 解【变式练习】1 根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数： ， ， ，求5a4b120B ， ， ，求9A ， ， ，求5a3b60 ， ， ，求2084B ， ， ，求6a5bA ， ， ，求43160( , 只能为锐角, 因此仅有一解.图示120AB , 只能为锐角,因此仅有一解.图示9 ,即 ,仅有一解. 图示sin9即例 2，先让学生判断，然后回忆对照。再次理解本题有两解。即例 3，先让学生判断，然后回忆对照。再次理解本题仅有一解。由改编， ，由图知，本题无解)60sin4ba2已知 A,B,C 是 的三个内角，求证：ABCcosabCB3在ABC 中，A60，b1，其面积为 3，求 的值insincA（*）4. 在 中，求证Btan2Bb作业：1. 在 中 ,已知 , ,在 分别为 20, , ,和 5 的情况下,求相应的角ABC210c45Aa320C.2在 中，b=2a, B=A ,求 A63.在 中，角 所对的边分别为 若 ，求、 cb、 Ca60cos2角 A(*)4.课本 11 页 B 组 1
