1、2.4 平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的 5
2、个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，ba使 = .ba2平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面1e2内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2 使 = 1 + 2aae3平面向量的坐标表示分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面xyij a向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得xyyjxia把 叫做向量 的（直角）坐标，记作),(yxa),(4平面向量的坐标运算若 ， ，则 ，),(1a),(2yxbba),(21
3、21yx， .ba),(2121yx),(yxa若 ， ，则),1yA,2B1212,A5 ( )的充要条件是 x1y2-x2y1=0ab06线段的定比分点及 P1， P2 是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 P1， P2 的任一点，存在实数 ，使 = ， 叫做点 P 分 所成的比，有三种情况：12210(内分) (外分) 0 ( -1) ( 外分)0 (-10)7. 定比分点坐标公式：若点 P (x1，y 1) ， (x2，y 2)， 为实数，且 ，则点 P 的坐标为（P12） ，我们称 为点 P 分 所成的比 .,221x 218. 点 P 的位置与 的范围的关系：当 时， 与 同
4、向共线，这时称点 P 为 的内分点.12 21当 ( )时， 与 反向共线，这时称点 P 为 的外分点.P12 219.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点 O，设 ， ，1OP2可得 = .baba110力做的功：W = |F| s|cos，是 F 与 s 的夹角.二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 ， ，则 （ ）叫 与 的OAB夹角.说明：（1）当 时， 与 同向；（2）当 时， 与 反向；（3）当 时， 与 垂直，记 ；2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围 01802平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的
5、夹角是 ，则数量|a |b|cos叫 与 的数量积，记作 ab，即有 ab = |a|b|cos，（ ）.并规定 0 与任何向量的数量积为 0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成 ab；今后要学到两个向量的外积 ab，而 ab 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若 a0，且 ab=0，则 b=0；但是在数量积中，若 a0，且 ab=0，不能推出 b=0.因为其中 cos有可能为 0.（4）已知
6、实数 a、b、c( b0)，则 ab=bc a=c.但是 ab = bc a = c 如右图：ab = | a|b|cos = |b|OA|，bc = |b|c|cos = |b|OA| ab = bc 但 a c(5)在实数中，有(ab)c = a(b c)，但是(ab)c a(bc)显然，这是因为左端是与 c 共线的向量，而右端是与 a 共线的向量，而一般 a 与 c 不共线.3 “投影”的概念：作图定义：|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180
7、时投影为 |b|.C4向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积 .5两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量.1 ea = ae =|a|cos2 ab ab = 03 当 a 与 b 同向时，ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时，ab = |a|b|. 特别的 aa = |a|2 或|4 cos = |ba5 |ab| |a|b|三、讲解范例：例 1 已知|a|=5， |b|=4， a 与 b 的夹角 =120o，求 ab.例 2 已知|a|=6， |b|=4， a 与 b 的夹角为 6
8、0o 求(a+2b)(a-3b).例 3 已知|a|=3， |b|=4， 且 a 与 b 不共线，k 为何值时，向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正误，并简要说明理由. 00；0 ；0 ； ；若AB 0，则对任一非零 有 ； ，则 与 中至少有一个为 0；对任意向量 ， ， 都有（ ） （ ） ； 与 是两个单位向量，则 .解：上述 8 个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0 ；对于：应有 0；对于：由数量积定义有 cos ，这里 是 与 的夹角，只有 或 时，才有 ；对于：若非零向量 、 垂直，有 ；对于：由 可知 可以都非零；对于：若 与 共线，记
9、 .则 （） （ ）（ ） ，（ ） （ ）（ ）（ ） 若 与 不共线，则( )（ ） .评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例 6 已知 ， ，当 ， ， 与 的夹角是 60时，分别求 .解：当 时，若 与 同向，则它们的夹角 ， cos036118；若 与 反向，则它们的夹角 180 ， cos18036（-1 ）18；当 时，它们的夹角 90 ， ；当 与 的夹角是 60时，有 cos6036 921评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180 ，因此，当 时，有 0或 180两种可能.四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b|= ，且(a-b
10、)与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是（ ）2A.60 B.30 C.135 D.2.已知|a |=2，|b|=1，a 与 b 之间的夹角为 ，那么向量 m=a-4b 的模为（ ）3A.2 B.2 C.6 D.1233.已知 a、b 是非零向量，则|a|=| b|是(a+b) 与(a- b)垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量 a、b 的夹角为 ，|a|=2，| b|=1，则|a+b|a-b|= .35.已知 a+b=2i-8j，a- b=-8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么 ab= .6.已知 ab、c 与 a、b 的夹角均为 60，且|a|=1，|b|=2 ，| c|=3，则(a+2b- c) _.7.已知|a |=1，|b|= ，(1) 若 ab，求 ab；(2)若 a、b 的夹角为，求| a+b|；(3)若 a-b2与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角.8.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为 ，求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.9.对于两个非零向量 a、b，求使|a+tb |最小时的 t 值，并求此时 b 与 a+tb 的夹角.五、小结（略） 六、课后作业（略）七、教学后记：
