1、题目 第二章函数指数函数和对数函数高考要求 1 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质2 掌握指数函数的概念、图像和性质3 理解对数的概念，掌握对数的运算性质；4 掌握对数函数的概念、图像和性质能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题知识点归纳1 根式的运算性质：当 n 为任意正整数时，( na) =a当 n 为奇数时， =a；当 n 为偶数时， =|a|=na)0(根式的基本性质： ， （a 0）mnp2 分数指数幂的运算性质： )()(,Qnbanmn3 的图象和性质10yx且a1 0 0 ,a 1 ，m 0 ,m 1,N0) malogl8 两个常用的推
2、论: ， 1llba loglogacba （ a, b 0 且均不为 1）nmog9 对数函数的性质：a1 00（转化法）(3)af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)题型讲解 例 1 计算：（1） ；1231624(43)7(8)（2） ；2(lg)l50lg2（3） 3948o)(o3)解：（1）原式123(1)263(12132 81（2）原式 (lg)l5)gl(lg5)l2g51()（3）原式 l2l3l2l3l() )()g94g83lg2gl56例 2
3、 已知 ，求 的值123x23x解： ， ， ， ，1212()919x17x ， ，()49x47x又 ，31122()()3()18 32738x例 3 已知 ，且 ，求 的值 5abc12abc解：由 得： ，即 ， ；log3clog31c1log3ca同理可得 ，由 得 ，1b 52c ， ， ，log52c5c0c例 4 设 ， ，且 ，求 的最小值1xylog2l30xy24Txy解：令 ， ， ，lxt1t由 得 ， ，2logl30xy230t230t ， ， ，即 ， ，(1)tt1t1logxy12x ，2224()4Txyx ，当 时，1minT例 5 设 、 、 为正
4、数，且满足 abc22abc（1）求证： 22log(1)log(1)（2）若 ， ，求 、 、 的值4a83cabc证明：（1）左边 222lllog()bcab；2222()loglogll1abc c 解：（2）由 得 ，4l(1)a14bca 30abc由 得 82log()3238c由 得 由得 ，代入 得 ，cab22(4)0ab ， 0430由、解得 ， ，从而 6810c例 6 （1）若 ，则 ， ， 从小到大依次为 ；2logbalbloga（2）若 ，且 ， ， 都是正数，则 ， ， 从小到大依次为 35xyzxyz2x3y5z；（3）设 ，且 （ ， ） ，则 与 的大小
5、关系是（ ）01xab0ababA B C D1ba1解：（1）由 得 ，故2 logblbloga（2）令 ，则 ， ， ， ，35xyztl2txl3tyl5tz ， ；2lg3l(g9l8)023ttxy23xy同理可得： ， ，50z5xz5yz（3）取 ，知选1xB例 8 已知函数 ，2()1xfa()求证：（1）函数 在 上为增函数；,（2）方程 没有负数根()0fx证明：（1）设 ，12则 1212() 1xxfxfa，12 1212 213()x xxaa ， ， ， ，1210220 ；123()x ，且 ， ， ，1a12xa120x ，即 ，12()0fxf2()ff函数
6、 在 上为增函数；(,另法： ，a1)x 223()ln0(1)xfa函数 在 上为增函数；fx(1,)（2）假设 是方程 的负数根，且 ，则 ，00fx01x021xa即 ， 00003(1)3xa当 时, , , ,01x01x03x012x而由 知 式不成立；a0x当 时， ， ， ，而010031x031x0xa式不成立综上所述，方程 没有负数根()f例 9 已知函数 （ 且 ）log(1)xa01a求证：（1）函数 的图象在 轴的一侧；)fy（2）函数 图象上任意两点连线的斜率都大于(x0证明：（1）由 得： ，10a1xa当 时， ，即函数 的定义域为 ，此时函数 的图象在 轴的x
7、()f(,)()fxy右侧；当 时， ，即函数 的定义域为 ，此时函数 的图象在 轴的01a0()fx(,0)()f左侧函数 的图象在 轴的一侧；()fxy（2）设 、 是函数 图象上任意两点，且 ，1,A2(,)Bx()fx12x则直线 的斜率 ，12yk，112212log()log()logxxxaaay 当 时，由（1）知 ， ， ，12012x120xxa ， ，又 ， ；120xa12y12k当 时，由（1）知 ， ，120x12xa ，120xxa ， ，又 ，12xa120y120xk函数 图象上任意两点连线的斜率都大于()f学生练习 合 ，若 ， ，则 ，则运算 可能是（ ）
8、 ,169,4PPabPba(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法已知集合 ， ，则满足条件 的映射,23A,01B(3)1(2)ff的个数是 ( ):fB（A）2 （B）4 （C）5 （D）7某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了 下面大致能上反映出小鹏这一天（0 时24 时）体温的变化情况的图是 ( )(A ) (B) (C) (D)定义两种运算： ， ，则函数 为（ ab22()ab2()xf）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数偶函数 在
9、 上单调递增，则 与 的大小关系是 ()log|afxb(,0)(1)fa(2)fb( )（A） （B）(1)(2)ff()()ff（C） （D）ab12ab6 如图，指出函数y=a x;y=b x;y=c x;y=d x的图象，则 a,b,c,d 的大小关系是Aalogy30,则下列不等式恒成立的是 ( )时0 6 12 18 2437体温( )37体温( )时0 6 12 18 2437时0 6 12 18 24体温( ) 37时0 6 12 18 24体温( ) oyxA 31y )(8 已知函数 f(x)=lg(axbx)(a,b 为常数，a1b0),若 x (1,+)时，f(x)0
10、恒成立，则( )Aab1 Bab1 Cab1 Da=b+19 如图是对数函数 y=logax 的图象，已知 a 取值 ,4/3,3/5,1/10,则相3应于, , , 的 a 值依次是 10 已知 y=loga(2ax)在0,1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围 是 11 已知函数 ，且正数 C 为常数对于任意的 ，存在一个,),(DfyRy Dx1，使 ，则称函数 在 D 上的均值为 C 试依据上述定义，Dx2x21 )(xfy写出一个均值为的函数的例子：_12 设函数 f(x)=lg ,其中 aR,如果当 x(,1)时，f(x)有意义，求 a 的34xx取值范围13 a 为何值时，关于
11、 x 的方程 2lgxlg(x1)=lga 无解？有一解？有两解？14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶 4 元，每月可销售 400 瓶；若每瓶售价每降低 005 元，则可多销售 40 瓶请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15 已知定义域为0，1的函数 f(x)同时满足：（1）对于任意 x0，1，总有 f(x)0；（2）f(1)=1（3）若 ， ， ，则有01x211x )()(2121xffxf（）试求 f(0)的值；（）试求函数 f(x)的最大值；（）试证明：满
12、足上述条件的函数 f(x)对一切实数 x，都有 f(x)2x16 设 、 为常数， ：把平面上任意一点ab FbaxfM;sinco)(|（ ， ）映射为函数 .sincoba（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当 时， ，这里 t 为常数；xf)(0 Mtxff)()(01（3）对于属于 M 的一个固定值 ，得 ，在映射 F 的作用下，),(01RfM1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？参考答案：DDCAD6B 7D 8A oy x9 ,4/3,3/5,1/10, 10 (1,2)311 ， ， （ ）)(xfxef9)(xafsin9)(1012 a3/413 0
13、4 时，方程有两解14450 15（I）令 ，021x依条件（3）可得 f(0+0) f(0)+f(0)，即 f(0) 0又由条件（1）得 f(0) 0，则 f(0)=0（）任取 ，可知 ,21x10(2x则 ,)()()(12 fffxf 即 ，故21xf (12x于是当 0x1 时，有 f(x)f(1)=1因此，当 x=1 时，f(x)有最大值为 1，（）证明：研究当 时，f(x) 12x1,2(x当 时，0首先，f(2x) f(x)+f(x)=2f(x)， )2(1)(xff显然，当 时，21,(x成立2)1()( ffff假设当 时，有 成立，其中 k1，2，21,kxkxf那么当 时
14、，,(1k 111 2)2()2()2) kkkk fffxf可知对于 ，总有 ，其中 n=1，2，,(nnxf而对于任意 ，存在正整数 n，使得 ，21,0x 1,(n此时 ,xfn21)(当 x=0 时，f(0)=02x综上可知，满足条件的函数 f(x)，对 x0，1，总有 f(x) 2x 成立16 (1)假设有两个不同的点（ ， ） ， （ ， ）对应同一函数，即abcd与 相同，xbabFsinco),(xdcdFsino),(即 对一切实数 x 均成立xsis特别令 x=0，得 a=c；令 ，得 b=d 这与（ a，b） ， （c，d）是两个不同点矛盾，假2设不成立故不存在两个不同点对应同函数（2）当 时，可得常数 a0， b0，使Mxf)(0 xbxfsinco)(001tfsin)cos(0ttxxba i)incos( 000 由于 为常数，设 是常数t, nmtatbmtta ,sico,sic0则从而 Mxmxf sic)(1（3）设 ，由此得0 xntfsic)(0（ ， ）btasinco其 中 tatbo00在映射 F 下， 的原象是（m，n） ，则 M1的原象是)(0xf,sinc,sic|),( 000 Rttttn 消去 t 得 ，即在映射 F 下，M 1的原象 是以22ba |)(202banm原点为圆心， 为半径的圆0课前后备注
